Question

已知关于x的方程x²-2kx-2k-4=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有不相等的两实数根；
（2）求当k为何值时，方程两根之差的绝对值等于4．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）先计算△得到△=（-2k）²-4（-2k-4）=4k²+8k+16=4（k+1）²+12，由于4（k+1）²≥0，即△＞0，根据△的意义即可得到结论；
（2）设方程两根为x₁，x₂，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-2k-4，由|x₁-x₂|=4变形得（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=16，即可得到关于k的方程（2k）²-4（-2k-4）=16，然后解此方程即可．

解答：（1）证明：∵△=（-2k）²-4（-2k-4）=4k²+8k+16=4（k+1）²+12，
∵4（k+1）²≥0，即△＞0，
∴无论k为何值时，该方程总有不相等的两实数根；

（2）解：设方程两根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-2k-4，
∵|x₁-x₂|=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=16，
∴（2k）²-4（-2k-4）=16，
∴k₁=0，k₂=-2．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=--

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判别式．