Question

10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，两条中线BD和CE相交于点F．
（1）试探究BF与DF的数量关系并证明；
（2）若BC=8，CE=5，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）连接DE，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，根据相似三角形的性质解答即可；
（2）根据三角形的中线的性质和勾股定理求出BD的长，根据（1）中结论解答．

解答 解：（1）连接DE，
∵BD和CE是△ABC的中线，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴△FED∽△FCB，
∴$\frac{BF}{FD}$=$\frac{BC}{DE}$=2，
∴BF=2DF；
（2）∵∠ACB=90°，CE是△ABC的中线，
∴AB=2CE=10，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6，
∵BD是△ABC的中线，
∴DC=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{73}$，
∴BF=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{2}{3}$$\sqrt{73}$．

点评 本题考查的是三角形的重心和勾股定理的应用，掌握三角形的重心的概念和性质以及三角形中位线定理、相似三角形的性质是解题的关键．