Question

如图，△ABC中，CE是角平分线，EF∥BC交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F，交AC于M，若CM=6，求CE²+CF²的值．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：根据角平分线的定义可以证明出△CEF是直角三角形，再根据平行线的性质以及角平分线的定义证明得到EM=CM=MF然后求出EF的长度，然后利用勾股定理列式计算即可求解．

解答：解：∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，
∴∠1=∠2=

1

2

∠ACB，∠3=∠4=

1

2

∠ACD，
∴∠2+∠3=

1

2

（∠ACB+∠ACD）=90°，
∴△CEF是直角三角形，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠5，∠4=∠F，
∴∠2=∠5，∠3=∠F，
∴EM=CM，CM=MF，
∵CM=6，
∴EF=6+6=12，
在Rt△CEF中，CE²+CF²=EF²=12²=144．

点评：本题考查的是勾股定理，平行线的性质，以及角平分线的定义，证明出△CEF是直角三角形是解决本题的关键．