Question

如图，矩形ABCD中，对角线AC=10，BC=5

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，以点B为圆心，r为半径作圆⊙B；以点D为圆心，R为半径作⊙D．若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙B和⊙D相切，且使A点在⊙B内部，C在⊙B外部，求r和R的变化范围．

Answer 1

考点：点与圆的位置关系

专题：计算题

分析：先利用勾股定理计算出AB=5，再根据点与圆的位置关系得到5＜r＜5

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，由于⊙B和⊙D相切，则分类讨论：当⊙B和⊙D外切时，R+r=10，则r=10-R；
当⊙B和⊙D内切时，R-r=10，则r=R-10，然后根据r的范围确定对应的R的范围．

解答：解：在Rt△ABC中，∵AC=10，BC=5

3

，
∴AB=

AC2-BC2

=5，
∵A点在⊙B内部，C在⊙B外部，
∴5＜r＜5

3

，
当⊙B和⊙D外切时，R+r=10，则r=10-R，
∴5＜10-R＜5

3

，
∴10-5

3

＜R＜5；
当⊙B和⊙D内切时，R-r=10，则r=R-10，
∴5＜R-10＜5

3

，
∴15＜R＜10+5

3

．

点评：本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外?d＞r；点P在圆上?d=r点P在圆内?d＜r．也考查了两圆相切的性质．