Question

如图：△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC且交AC于点D，将△BCD绕点C顺时针旋转到△ACF的位置，并延长BD交AF于点E．
①求证：△BAE∽△ADE；②若ED•BE=8，求BD的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：①由∠ACB=90°可得∠DAE+∠F=∠EBF+∠F，可得∠DAE=∠EBF，又由角平分线可知∠ABE=∠EBF，可得∠DAE=∠ABE，且∠AEB=∠AED，可得结论；
②由①可知BE⊥AF，则有AE=EF，由条件可证明△ADE∽△BFE，可得

DE

AE

=

AE

BE

，可得AE²=DE•BE=8，可求得AE=2

2

，则BD=AF=4

2

．

解答：①证明：∵∠ACB=90°，
∴∠DAE+∠F=∠EBF+∠F=90°，
∴∠DAE=∠EBF，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBF，
∴∠DAE=∠ABE，且∠AEB=∠AED，
∴△BAE∽△ADE；
②解：∵∠DBC+∠BDC=90°，且∠DAAE=∠DBC，∠BDC=∠ADE，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴AE=FE，
又∵在△BEF和△AED中，
∠DAE=∠EBF，∠AED=∠BEF，
∴△ADE∽△BFE，
∴

DE

AE

=

AE

BE

，
∴AE²=DE•BE=8，
∴AE=2

2

，
又∵由旋转的性质可得BD=AF，
∴BD=4

2

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，在第②问中证明△ADE∽△BFE求得AE的长是解题的关键．