Question

【题目】如图所示，双曲线y＝（x＞0，k＞0）与直线y＝ax+b（a≠0，b为常数）交于A（2，4），B（m，2）两点．

（1）求m的值；

（2）若C点坐标为（n，0），当AC+BC的值最小时，求出n的值；

（3）求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】(1)m=4;(2)n=;(3)6.

【解析】

（1）由A点坐标即可求出反比例函数，再把B点坐标代入反比函数即可求出m的值；

（2）求得B点关于x轴的对称点B′（4，-2），连接AB′，交x轴与C，此时AC+BC=AB′，AC+BC的值最小，根据待定系数法求得直线AB′的解析式，然后把（n，0）代入求得的解析式即可求得n的值；

（3）根据待定系数法求得直线AB的解析式，即可得到直线AB与x轴的交点C的坐标，然后根据S△AOB=S△AOC-S△BOC求得即可．

解：（1）把A（2，4）代入y＝（x＞0，k＞0），

∴k＝2×4＝8，

∴反比例函数的解析式为y＝，

把B（m，2）代入y＝得，2＝，

解得m＝4；

（2）由（1）可知：A（2，4），B（4，2），

∴B点关于x轴的对称点B′（4，﹣2），

连接AB′，交x轴与C，此时AC+BC＝AB′，AC+BC的值最小，

设直线AB′的解析式为y＝ax+b，

把A（2，4），B′（4，﹣2）代入得，

解得：，

∴直线AB′的解析式为y＝﹣3x+10，

把（n，0）代入得y＝﹣3n+10，

∴n＝；

（3）设直线AB的解析式为y＝mx+t，

∴把A（2，4），B（4，2）代入得，解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6，

∴直线AB与x轴的交点C（6，0），

∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×6×4﹣×6×2＝6．