【题目】如图(1),在边长为4的正方形中,在AO的延长线上取点B,使OB=2OA,连接BC.
(1)点是线段的中点,连结,求线段的长;
(2)点M在线段BC上,且到OB,OC的距离分别为,,当时, 求,的值;
(3)如图(2),在第(1)、(2)问条件下,延长交直线于点N,动点在上从点向终点匀速运动,同时,动点在延长线上,沿直线向终点M匀速运动,它们同时出发且同时到达终点.当点运动到中点时,点恰好与点重合.
①在运动过程中,设点的运动路程为s,,用含t的代数式表示s.
②过点O作于点,在运动路程中,当与的一边平行时,求所有满足条件的的长.
【答案】(1);(2),,(3)①,②或.
【解析】
(1)先根据勾股定理求得BC的长,再利用直角三角形的性质即可求得结果;
(2)过点M作MG⊥OB,MH⊥OC,则易证△BMG∽△BCO,根据相似三角形的性质并结合已知即可求出m、n的值;
(3)①由题意知:当点运动到中点时,点恰好与点重合,所以当点从中点运动到点O时,点恰好与从点运动到点M,据此列出比例式即可得出s与t的关系式;
②先确定点Q的出发点K的位置,进而可求出,再建立如图1所示的平面直角坐标系,显然在点P的运动过程中,PQ与DE始终不平行;当PQ∥OF时,利用坐标系中两条直线垂直时满足,可求出用含t的参数表示的直线PQ的解析式,再与直线BC联立方程组求出交点Q的坐标,然后利用锐角三角函数的知识求出QN值,即得QK的长,再利用①的结论即得关于t的方程,解方程即可求得t的值;当PQ∥OE时,如图2,利用坐标系中两直线平行,同上面的思路求解即可.
解:(1)∵四边形是正方形,∴OC=AO=4,∠COA=90°,∴∠COB=90°,
∵OB=2OA,∴OB=8,∴,
∵点是线段的中点,∴;
(2)如图(1),过点M作MG⊥OB,MH⊥OC,则MG=m,MH=n=OG,MG∥OC,
∴△BMG∽△BCO,∴,即,
当,即n=6m时,,解得:m=1,∴n=6;
∴,,
(3)①由题意知:当点运动到中点时,点恰好与点重合,所以当点从中点运动到点O时,点恰好与从点运动到点M.
如图(1),∵CH=3,HM=6,∴,
于是有:,∴;
②在BC延长线上取点K,使CK=CM=,∵,∴,由题意可知:点Q的出发点就是点K.
建立如图1所示的平面直角坐标系,
则当PQ∥OF时,PQ⊥DE,
∵D(0,4)、E(8,2),∴直线DE的解析式为:,所以设,将点P(t,0)代入得:,∴,
∵C(4,4)、B(12,0),∴直线BD的解析式为:,
联立方程组:,解得,
∴点Q(,),
过点Q作QR⊥y轴于点R,则,
在直角△QRN中,,
∴,
由①知,,∴=,解得:;
当PQ∥OE时,如图2,
∵O(4,0)、E(8,2),∴直线OE的解析式为:,
∴设直线PQ的解析式为:,把P(t,0)代入得:,
∴,
联立方程组:,解得:,∴Q(,),
过点Q作QR⊥y轴于点R,则,
在直角△QRN中,,
∴,
由①知,,∴=,解得:;
显然在点P的运动过程中,PQ与DE始终不平行;
综上,当与的一边平行时,或.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+1的顶点为D,与x轴正半轴交于A、B两点,A在B左,与y轴正半轴交于点C,当△ABD和△OBC均为等腰直角三角形(O为坐标原点)时,b的值为( )
A. 2 B. ﹣2或﹣4 C. ﹣2 D. ﹣4
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【题目】如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点M的坐标是(5,4),⊙M与y轴相切于点C,与x轴相交于A,B两点.
(1)请直接写出A,B,C三点的坐标,并求出过这三点的抛物线解析式;
(2)设(1)中抛物线解析式的顶点为E,
求证:直线EA与⊙M相切;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,且点P在x轴的上方,使△PBC是等腰三角形?
如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示,双曲线y=(x>0,k>0)与直线y=ax+b(a≠0,b为常数)交于A(2,4),B(m,2)两点.
(1)求m的值;
(2)若C点坐标为(n,0),当AC+BC的值最小时,求出n的值;
(3)求△AOB的面积.
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【题目】给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=
①如果,那么0<a<1;
②如果,那么a>1;
③如果,那么-1<a<0;
④如果时,那么a<-1.
则
A.正确的命题是①④B.错误的命题是②③④
C.正确的命题是①②D.错误的命题只有③
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【题目】大豆是一种非常受欢迎的农作物,已知种植某种大豆的平均产量为吨/公顷,所需成本为8千元/公顷,某地销售大豆的单价千元/吨与种植大豆的面积公顷之间关系如图所示:
为了鼓励农民种植粮食的热情,市政府出台相关政策:对本市种植大豆的农民按保护价4.5千元/吨进行补偿(即当销售单价低于4.5千元/吨时,差价由政府提供补助,比如销售单价为4千元/吨,则政府补贴农民0.5千元/吨,若单价不少于4.5千元/吨时,则不补助)。
(1)若该市计划种植大豆300公顷,销售后是否享受政府补贴?若享受则享受补贴总金额是多少千元?
(2)设该市销售大豆获得的利润(不含政府补贴部分)为w千元,当种植面积为多少公顷时利润最大,最大利润是多少千元?注:销售利润=(销售单价×每公顷产量-每公顷成本)×公顷数
(3)为保证所得的总利润(含可能得到的政府补贴)达到748千元,应该种植多少公顷大豆?
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【题目】如图,在矩形中,,,点从点开始沿边向终点以的速度移动,与此同时,点从点开始沿边向终点以的速度移动.如果分别从同时出发,当点运动到点时,两点停止运动,设运动时间为秒.
(1)填空:__________,_________;(用含的代数式表示)
(2)当为何值时,的长度等于?
(3)当为何值时,五边形的面积有最小值?最小值为多少?
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【题目】某学校为了了解初一学生防溺水知识掌握情况,随机抽取部分初一学生进行了相关知识测试,测试分为A、B、C、D四个等级进行统计,将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图:
请解答下列问题:
(1)该校参加本次防溺水知识测试共有______人;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校初一年级共有学生1000人,试估计该校学生中对防溺水知识的掌握能达到A级的人数.
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