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【题目】如图(1),在边长为4的正方形中,在AO的延长线上取点B,使OB=2OA,连接BC

1)点是线段的中点,连结,求线段的长;

2)点M在线段BC上,且到OBOC的距离分别为,当时, 的值;

3)如图(2),在第(1)、(2)问条件下,延长交直线于点N,动点上从点向终点匀速运动,同时,动点延长线上,沿直线向终点M匀速运动,它们同时出发且同时到达终点.当点运动到中点时,点恰好与点重合.

①在运动过程中,设点的运动路程为s,用含t的代数式表示s

②过点O于点,在运动路程中,当的一边平行时,求所有满足条件的的长.

【答案】1;(2,(3.

【解析】

1)先根据勾股定理求得BC的长,再利用直角三角形的性质即可求得结果;

2)过点MMGOBMHOC,则易证△BMG∽△BCO,根据相似三角形的性质并结合已知即可求出mn的值;

3)①由题意知:当点运动到中点时,点恰好与点重合,所以当点中点运动到点O时,点恰好与从点运动到点M,据此列出比例式即可得出st的关系式;

②先确定点Q的出发点K的位置,进而可求出,再建立如图1所示的平面直角坐标系,显然在点P的运动过程中,PQDE始终不平行;当PQOF时,利用坐标系中两条直线垂直时满足,可求出用含t的参数表示的直线PQ的解析式,再与直线BC联立方程组求出交点Q的坐标,然后利用锐角三角函数的知识求出QN值,即得QK的长,再利用①的结论即得关于t的方程,解方程即可求得t的值;当PQOE时,如图2,利用坐标系中两直线平行,同上面的思路求解即可.

解:(1)∵四边形是正方形,∴OC=AO=4,∠COA=90°,∴∠COB=90°

OB=2OA,∴OB=8,∴

∵点是线段的中点,∴

2)如图(1),过点MMGOBMHOC,则MG=mMH=n=OGMGOC

∴△BMG∽△BCO,∴,即

,即n=6m时,,解得:m=1,∴n=6

3)①由题意知:当点运动到中点时,点恰好与点重合,所以当点中点运动到点O时,点恰好与从点运动到点M.

如图(1),∵CH=3HM=6,∴

于是有:,∴

②在BC延长线上取点K,使CK=CM=,∵,∴,由题意可知:点Q的出发点就是点K.

建立如图1所示的平面直角坐标系,

则当PQOF时,PQDE

D04)、E82),∴直线DE的解析式为:,所以设,将点Pt0)代入得:,∴

C44)、B120),∴直线BD的解析式为:

联立方程组:,解得

∴点Q),

过点QQRy轴于点R,则

在直角QRN中,

由①知,,∴=,解得:

PQOE时,如图2

O40)、E82),∴直线OE的解析式为:

∴设直线PQ的解析式为:,把Pt0)代入得:

联立方程组:,解得:,∴Q),

过点QQRy轴于点R,则

在直角△QRN中,

由①知,,∴=,解得:

显然在点P的运动过程中,PQDE始终不平行;

综上,当的一边平行时,.

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