【题目】如图,在平面直角坐标系中,点M的坐标是(5,4),⊙M与y轴相切于点C,与x轴相交于A,B两点.
(1)请直接写出A,B,C三点的坐标,并求出过这三点的抛物线解析式;
(2)设(1)中抛物线解析式的顶点为E,
求证:直线EA与⊙M相切;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,且点P在x轴的上方,使△PBC是等腰三角形?
如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】(1)连接AM,MC,设ME交x轴于点D,由M点的坐标可求得MC、MD的长,可求得C点坐标,在Rt△ADM中可求得AD,则容易求得A、B坐标;
(2)由A点坐标可求得抛物线解析式,则可求得ME的长,由勾股定理的逆定理可判定△AME为直角三角形,则可证得结论;
(3)可设P点坐标为(5,t),则可表示出PB、CP、结合BC的长,当△PBC为等腰三角形时,则有PB=BC,CP=BC,PC=PB三种情况,分别求解即可;
(1)A,B,C的坐标分别是A(2 ,0 ),B(8 ,0 ),C(0 ,4 );---3分
设抛物线解析式为,将(0,4)代入得即∴.
(2)证明:把化为y=(x﹣5)2,
∴E(5,﹣),
∴DE=,
∴ME=MD+DE=4+=,EA2=32+()2=,
∵MA2+EA2=52+=,ME2=,
∴MA2+EA2=ME2,
∴∠MAE=90°,
即EA⊥MA,
∴EA与⊙M相切;
(3)解:存在;点P坐标为(5,4),或(5,),或(5,4+);理由如下:
由勾股定理得:BC===4,
分三种情况:
①当PB=PC时,点P在BC的垂直平分线上,点P与M重合,
∴P(5,4);
②当BP=BC=4时,如图2所示:
∵PD===,
∴P(5,);
③当PC=BC=4时,连接MC,如图3所示:
则∠PMC=90°,
根据勾股定理得:PM===,
∴PD=4+,
∴P(5,4+);
综上所述:存在点P,且点P在x轴的上方,使△PBC是等腰三角形,
点P的坐标为(5,4),或(5,),或(5,4+).
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【题目】如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C、D是⊙O上的点,且OC∥BD,AD分别与BC、OC相交于 点E、F.若∠CBD=36°,则下列结论中不正确的是
A. ∠AOC=72° B. ∠AEC=72° C. AF=DF D. BD=20F
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【题目】在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE =∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°,则∠BCE=________度;
(2)设,.
①如图2,当点在线段BC上移动,则,之间有怎样的数量关系?请说明理由;
②当点在直线BC上移动,则,之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.
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【题目】如图,数轴的单位长度为1.
(1)如果点A,D表示的数互为相反数,那么点B表示的数是多少?
(2)如果点B,D表示的数互为相反数,那么图中表示的四个点中,哪一点表示的数的绝对值最大?为什么?
(3)当点B为原点时,若存在一点M到A的距离是点M到D的距离的2倍,则点M所表示的数是____.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,点 E、F分别为边 AD、CD上的动点(都与菱形的顶点不重合),联结 EF、BE、BF .
(1)若∠A=60°,且 AE+CF=AB,判断△BEF 的形状,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,设菱形的边长为a,求△BEF面积的最小值.
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【题目】如图,数轴上A,B两点对应的有理数分别为10和15,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动,点Q同时从原点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动,设运动时间为t秒.
(1)当0<t<5时,用含t的式子填空:
BP=_______,AQ=_______;
(2)当t=2时,求PQ的值;
(3)当PQ=AB时,求t的值.
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【题目】某汽车专卖店销售A,B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B型车,销售额为96万元;本周已售出2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元.
(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元?
(2)甲公司拟向该店购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,且A型号车不少于2辆,购车费不少于130万元,则有哪几种购车方案?
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