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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点M的坐标是(5,4),⊙M与y轴相切于点C,与x轴相交于A,B两点.

(1)请直接写出A,B,C三点的坐标,并求出过这三点的抛物线解析式;

(2)设(1)中抛物线解析式的顶点为E,

求证:直线EA与⊙M相切;

(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,且点P在x轴的上方,使△PBC是等腰三角形?

如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】(1) ;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】(1)连接AM,MC,MEx轴于点D,由M点的坐标可求得MC、MD的长,可求得C点坐标,在Rt△ADM中可求得AD,则容易求得A、B坐标;

(2)由A点坐标可求得抛物线解析式,则可求得ME的长,由勾股定理的逆定理可判定△AME为直角三角形,则可证得结论;

(3)可设P点坐标为(5,t),则可表示出PB、CP、结合BC的长,当△PBC为等腰三角形时,则有PB=BC,CP=BC,PC=PB三种情况,分别求解即可;

1ABC的坐标分别是A2 0 ),B8 0 ),C0 4 );---3

设抛物线解析式为,将(0,4)代入得.

2)证明:把化为y=x52

E5,﹣),

DE=

ME=MD+DE=4+=EA2=32+(2=

MA2+EA2=52+=ME2=

MA2+EA2=ME2

∴∠MAE=90°

EAMA

EA与⊙M相切;

3)解:存在;点P坐标为(54),或(5),或(54+);理由如下:

由勾股定理得:BC===4

分三种情况:

①当PB=PC时,点PBC的垂直平分线上,点PM重合,

P54);

②当BP=BC=4时,如图2所示:

PD===

P5);

③当PC=BC=4时,连接MC,如图3所示:

则∠PMC=90°

根据勾股定理得:PM===

PD=4+

P54+);

综上所述:存在点P,且点Px轴的上方,使△PBC是等腰三角形,

P的坐标为(54),或(5),或(54+).

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