Question

如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一动点（不与B、C重合），以AP为边作等边△APE，连接CE．

（1）求证：AB∥CE；

（2）是否存在点P，使得AE⊥CE？若存在，指出点P的位置并证明你的结论；若不存，请说明理由．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出角相等、边相等，证出△ABP≌△ACE（SAS），得出对应角相等，证出∠BAC=∠ACF，从而证出结论．

（2）由△ABP≌△ACE得出∠APB=∠AEC=90°，再由等边三角形的性质得出P为BC的中点．

【解答】证明：（1）∵△ABC、△APE是等边三角形，

∴∠BAC=∠PAE=∠B=60°，AB=AC，AF=AE，

∴∠BAP=∠CAE，

在△ABF和△ACE中，

∴△ABP≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠ACP=60°，

∴∠BAC=∠ACF，

∴AB∥CE；

（2）存在点P使得AE⊥CE．此时P为BC的中点；理由如下：

∵AE⊥CE，

∴∠AEC=90°，

由（1）得：△ABP≌△ACE，

∴∠APB=∠AEC=90°，

∴AP⊥BC，

∵AB=AC，

∴P为BC的中点．

∴存在点P，使得AE⊥CE．

【点评】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质；由等边三角形证明三角形全等是关键．