Question

【题目】如图1，在平面直径坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与y轴交于点C．

（1）直接写出抛物线的函数解析式；

（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；

（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）S△PDE=（＜x＜0），且△PDE面积的最大值为．

【解析】（1）将点A（﹣3，0）、B（1，0）代入中，得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为．

（2）令中x=0，则y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，CE=4．

∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，∴M（﹣1，0），∴CM==．

∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴，∴DC=．

（3）将抛物线向上平移个单位长度后的解析式为=，令中y=0，即，解得：=，=．

∵点P在第三象限，∴＜x＜0．

过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．

在Rt△CDE中，CD=，CE=4，∴DE==，sin∠DCE==，在Rt△CDD′中，CD=，∠CD′D=90°，∴DD′=CDsin∠DCE=，CD′==，OD′=CD′﹣OC=，∴D（，），D′（0，），∵P（x，），∴P′（0，），∴S△PDE=S△DD′E+S梯形DD′P′P﹣S△EPP′=DD′ED′+（DD′+PP′）D′P′﹣PP′EP′=（＜x＜0），∵S△PDE==，＜＜0，∴当x=时，S△PDE取最大值，最大值为．

故：△PDE的面积关于x的函数关系式为S△PDE=（＜x＜0），且△PDE面积的最大值为．