Question

【题目】已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动。

(1) 求梯形ODPC的面积S与时间t的函数关系式。

(2) t为何值时，四边形PODB是平行四边形？

(3) 在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形。若存在求t值，若不存在，说明理由。

(4) 当△OPD为等腰三角形时，求点P的坐标。

Answer 1

【答案】（1）由题意仪，根据梯形的面积公式，得

s==2t+10

（2）∵四边形PODB是平行四边形，

∴PB=OD=5，

∴PC=5，

∴t=5

（3）∵ODQP为菱形，

∴OD=OP=PQ=5，

∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：

PC=3

∴t=3

（4）当P1O=OD=5时，由勾股定理可以求得P1C=3，

P2O=P2D时，作P2E⊥OA，

∴OE=ED=2.5；

当P3D=OD=5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F=3，

∴P3C=2；

当P4D=OD=5时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得DG=3，

∴OG=8．

∴P1（2，4），P2（2.5，4），P3（3，4），P4（8，4）

【解析】（1）根据梯形的面积公式就可以表示出S与t的函数关系式．

（2）根据平行四边形的性质就可以知道PB=5，可以求出PC=5，从而可以求出t的值．

（3）要使ODQP为菱形，可以得出PO=5，由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值．

（4）当P1O=OD=5或P2O=P2D或P3D=OD=5或P4D=OD=5时分别作P2E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P4G⊥OA于G，利用勾股定理P1C，OE，P3F，DG的值，就可以求出P的坐标．