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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+cy轴的交于点A(0,3),与x轴的交于点BC,点B的横坐标为2.点A关于抛物线对称轴对称的点为点D,在x轴上有一动点E(t,0),过点E作平行于y轴的直线与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当点P在线段AC的下方时,求△APC面积的最大值;

(3)当t>2时,是否存在点P,使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似.若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣2x+3;(2)当t=3时,△APC的面积取最大值,最大值为;(3)当t>2时,存在点P,使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似,此时t的值为14.

【解析】

1)由点AB的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式

2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标由点AC的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式设直线l与直线AC的交点为F则点F的坐标为(t,﹣t+3).结合点P的坐标即可得出PF的值SAPC=SAPF+SCPF可得出SAPC=﹣t32+再利用二次函数的性质即可解决最值问题

3)由∠AOB=AQP=90°,可分△AOB∽△AQP和△AOB∽△PQA两种情况考虑利用相似三角形的性质可得出关于t的方程解之即可得出结论

1)将A03)、B20)代入y=x2+bx+c

解得∴抛物线的解析式为y=x22x+3

2)当y=0x22x+3=0解得x1=2x2=6∴点C的坐标为(60).

设直线AC的解析式为y=mx+nm0),A03)、C60)代入y=mx+n

解得∴直线AC的解析式为y=﹣x+3

设直线l与直线AC的交点为F如图1所示则点F的坐标为(t,﹣t+3).

∵点P的坐标为(tt22t+3),PF=﹣t+3﹣(t22t+3)=﹣t2+tSAPC=SAPF+SCPF=OEPF+CEPF=OCPF=×6×(﹣t2+t)=﹣t32+

a=﹣0t=3APC的面积取最大值最大值为

3)假设存在

∵∠AOB=AQP=90°,∴分△AOB∽△AQP和△AOB∽△PQA两种情况考虑

A03),B20),Qt3),Ptt22t+3),AO=3BO=2AQ=tPQ=|t22t|

①当△AOB∽△AQP==解得t1=0(舍去)t2=t3=经检验t2=t3=是所列分式方程的解

②当△AOB∽△PQA==解得t4=0(舍去)t5=2(舍去)t6=14经检验t6=14是所列分式方程的解

综上所述t2存在点P使以APQ为顶点的三角形与△AOB相似此时t的值为14

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车型

目的地

A村(元/辆)

B村(元/辆)

大货车

800

900

小货车

400

600

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