Question

把半径为1的圆放在边长为9、12、15的三角形内任意移动，求在该三角形内，这张圆形纸片不能接触到部分的面积．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题

分析：如图，根据勾股定理的逆定理可证明△ACB为直角三角形，由于⊙D、⊙E和⊙F为半径为1的圆，且分别与△ABC的各边相切，根据切线的性质可得到DE∥AC，EF∥BC，DF∥AB，则△DEF∽△ABC，所以EF：DE：DF=3：4：5，设EF=3x，则DE=4x，DF=5x，所以GM=4x，NP=3x，HQ=5x，设AG=a，BP=b，根据切线长定理得AH=a，BQ=b，利用三角形三边的长得到

a+4x+1=12 1+3x+b=9 a+5x+b=15

，解得

x=2 a=3 b=2

，然后根据扇形的面积公式和这张圆形纸片不能接触到部分的面积=S_{四边形AGDH}-S_扇形GDH+S_{正方形CNEM}-S_扇形MEN+S_{四边形BPFQ}-S_扇形PFQ进行计算．

解答：解：如图，AC=12，BC=9，AB=15，
∵9²+12²=15²，
∴BC²+AC²=AB²，
∴△ACB为直角三角形，
⊙D、⊙E和⊙F为半径为1的圆，且分别与△ABC的各边相切，如图，
∴DE∥AC，EF∥BC，DF∥AB，
∴△DEF∽△ABC，
∴EF：DE：DF=9：12：15=3：4：5，
设EF=3x，则DE=4x，DF=5x，
∴GM=4x，NP=3x，HQ=5x，
设AG=a，BP=b，则AH=a，BQ=b，
∴

a+4x+1=12 1+3x+b=9 a+5x+b=15

，解得

x=2 a=3 b=2

，
∴这张圆形纸片不能接触到部分的面积=S_{四边形AGDH}-S_扇形GDH+S_{正方形CNEM}-S_扇形MEN+S_{四边形BPFQ}-S_扇形PFQ
=S_{四边形AGDH}+S_{正方形CNEM}+S_{四边形BPFQ}-（S_扇形GDH+S_扇形MEN+S_扇形PFQ）
=S_{四边形AGDH}+S_{正方形CNEM}+S_{四边形BPFQ}-S_⊙D
=2×

1

2

×3×1+1×1+2×

1

2

×2×1-π•1²
=6-π．

点评：本题考查了线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理和扇形的面积公式．