Question

【题目】如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为，过点作交于，连接．

（1）求证：四边形为菱形；

（2）当点在边上移动时，折痕的端点也随之移动；

①当点与点重合时（如图2），求菱形的边长；

②若限定分别在边上移动，求出点在边上移动的最大距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，②

【解析】

（1）根据轴对称的性质得到，，，再由平行线的性质得到，从而得到，由“等角对等边”得到EP=EF，进而得出即可；
（2）①先由折叠得：EC＝BC＝10，利用勾股定理得：ED＝8，设PE＝x，则PB＝x，AP＝6x，Rt△APE中，由勾股定理得：（6x）2＋22＝x2，解出即可；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，AE＝AB＝6cm，即可得出答案；

解：（1）证明：折叠纸片使点落在边上的处，折痕为，

点与点关于对称，

，，，

又，

，

，

，

，

四边形为菱形；

（2）解：①四边形是矩形，

，，，

点与点关于对称，点C与点Q重合，

，

在中，，

；

在中，，，

，

解得：，

菱形的边长为；

②当点与点重合时，如图2；

点离点最近，由①知，此时；

当点与点重合时，如图3所示：

点离点最远，此时四边形为正方形，，

点在边上移动的最大距离为6-2=.