Question

【题目】在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP=x，△BEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为( )

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

分析，EF与x的关系，他们的关系分两种情况，依情况来判断抛物线的开口方向．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC=BD=2，OB=OD=BD=，

①当P在OB上时，即0≤x≤，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC，

∴EF：AC=BP：OB，

∴EF=2BP=2x，

∴y=EFBP=×2x×x=x2；

②当P在OD上时，即＜x≤2，

∵EF∥AC，

∴△DEF∽△DAC，

∴EF：AC=DP：OD，

即EF：2=(2-x)：，

∴EF=2(2-x)，

∴y=EFBP=×2(2-x)×x=-x2+2x，

这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：

二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数．

当系数＞0时，抛物线开口向上；系数＜0时，开口向下．所以由此图我们会发现，EF的取值，最大是AC．当在AC的左边时，EF=2BP；所以此抛物线开口向上，当在AC的右边时，抛物线就开口向下了．

故选：C．