Question

已知D为△ABC中BC边上的点，E为CA的延长线上一点，DE交AB于F，∠EAF=∠EDC，求证：

BD

BF

=

AF

EF

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：如图，作辅助线，证明△BGF∽△AEF，得到BF：GF=AF：EF；证明△BGF∽△DGB，得到BD：BF=BF：GF，即可解决问题．

解答：证明：如图，过点B作BG∥AC，交ED的延长线于点G；
则△BGF∽△AEF，
∴BF：AF=GF：EF，
∴BF：GF=AF：EF；
∵BG∥AC，
∴∠EAF=∠BGF；
而∠EAF=∠EDC，∠BDG=∠EDC，
∴∠GBF=∠BDG，而∠G=∠G，
∴△BGF∽△DGB，
∴BD：BF=BG：GF，
∴BD：BF=AF：EF，
即

BD

BF

=

AF

EF

．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．