Question

15．已知：关于x的一元二次方程-x²+（m+1）x+（m+2）=0（m＞0）．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）当抛物线y=-x²+（m+1）x+（m+2）经过点（3，0），求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，记抛物线y=-x²+（m+1）x+（m+2）在第一象限之间的部分为图象G，如果直线y=k（x+1）+4与图象G有公共点，请结合函数的图象，求直线y=k（x+1）+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用根的判别式的符号进行证明；
（2）把点（3，0）代入函数解析式，列出关于m的方程，通过解方程来求m的值；
（3）根据函数解析式y=-x²+2x+3求得抛物线的顶点坐标，当直线y=k（x+1）+4经过顶点（1，4）时，此时直线y=k（x+1）+4与y轴交点的纵坐标为4．
当x=0时，y=3，此时直线y=k（x+1）+4与y轴交点的纵坐标为3．结合函数图象可知，3＜t≤4．

解答 （1）证明：∵△=（m+1）²-4×（-1）×（m+2）
=（m+3）²．
∵m＞0，
∴（m+3）²＞0，
即△＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵抛物线抛物线y=-x²+（m+1）x+（m+2）经过点（3，0），
∴-3²+3（m+1）+（m+2）=0，
∴m=1．
∴y=-x²+2x+3．
（3）解：∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴该抛物线的顶点为（1，4）．
∴当直线y=k（x+1）+4经过顶点（1，4）时，
∴4=k（1+1）+4，
∴k=0，
∴y=4．
∴此时直线y=k（x+1）+4与y轴交点的纵坐标为4．
∵y=-x²+2x+3，
∴当x=0时，y=3，
∴该抛物线与y轴的交点为（0，3）．
∴此时直线y=k（x+1）+4与y轴交点的纵坐标为3．
∴3＜t≤4．

点评 本题考查了待定系数法求解析式，根的判别式，二次函数图象与几何变换．
总结：利用一元二次方程根的判别式（△=b²-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．