Question

10．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．已知关于x的二次函数y₁=2x²-4mx+2m²+1和y₂=ax²+bx+5，其中y₁的图象经过A（1，1），若y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，则函数y₂的解析式是y₂=5x²-10x+5．

Answer 1

分析 先由y₁的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”就可以求出函数y₂的表达式．

解答 解：∵y₁的图象经过点A（1，1），y₁=2x²-4mx+2m²+1，
∴2×1²-4×m×1+2m²+1=1，
整理得：m²-2m+1=0，
解得：m₁=m₂=1，
∴y₁=2x²-4x+3=2（x-1）²+1，
∴y₁+y₂=2x²-4x+3+ax²+bx+5=（a+2）x²+（b-4）x+8．
∵y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，
∴y₁+y₂=（a+2）（x-1）²+1=（a+2）x²-2（a+2）x+（a+2）+1，
其中a+2＞0，即a＞-2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-4=-2（a+2）}\\{8=（a+2）+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
∴函数y₂的表达式为：y₂=5x²-10x+5．
故答案为y₂=5x²-10x+5．

点评 本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、顶点坐标），考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解是解题的关键．