Question

20．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）在BC截取CF=CO，连接OF，若AC=8，BD=6，求四边形OFCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据对边得出是平行四边形，再根据AC⊥BD证明出四边形OCED为矩形；
（2）根据菱形的性质和直角三角形中的三角函数进行计算，问题得解．

解答 （1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形．                   
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴∠DOC=90°．
∴四边形OCED为矩形．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分于点O，
∴OD=OB=$\frac{1}{2}$BD=3，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴S_△DOC=$\frac{1}{2}OD•OC$=$\frac{1}{2}×3×4$=6．            
在Rt△OBC中，
BC=$\sqrt{O{B^2}+O{C^2}}$=5，sin∠OCB=$\frac{OB}{BC}$=$\frac{3}{5}$．
作FH⊥OC于点H，
在Rt△CFH中，CF=CO=4，sin∠HCF=$\frac{FH}{FC}$=$\frac{3}{5}$，
∴FH=$\frac{3}{5}$CF=$\frac{12}{5}$．                             
∴S_△OCF=$\frac{1}{2}OC•FH$=$\frac{1}{2}×4×\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$．
∴S_{四边形OFCD}=S_△DOC+S_△OCF=6+$\frac{24}{5}$=$\frac{54}{5}$．

点评 此题考查了菱形的判定与性质以及三角函数．此题难度不大，注意证得四边形CODE是矩形是解此题的关键．