Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径．
（1）求证：OD⊥CE；
（2）若DF=1，DC=3，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）⊙O与边AB相切于点E，且 CE为⊙O的直径，得到CE⊥AB，由等腰三角形的性质三线合一得到BD=DC，根据三角形的中位线的性质得到结论；
（2）连接EF，由CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，得到∠EFC=90°，又因为 CE⊥AB，得到∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠ECF=90°，推出∠BEF=∠ECF，于是得到tan∠BEF=tan∠ECF，得到等积式$\frac{BF}{EF}=\frac{EF}{FC}$，求得EF=2$\sqrt{2}$，由勾股定理得BE，再根据平行线分线段成比例，列出比例式求解．

解答 解：（1）∵⊙O与边AB相切于点E，且 CE为⊙O的直径，
∴CE⊥AB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
又∵OE=OC，
∴OD∥EB，
∴OD⊥CE；

（2）连接EF，
∵CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，∴∠EFC=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°．
∴∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠ECF=90°，
∴∠BEF=∠ECF，
∴tan∠BEF=tan∠ECF
∴$\frac{BF}{EF}=\frac{EF}{FC}$，
又∵DF=1，BD=DC=3，
∴BF=2，FC=4，
∴EF=2$\sqrt{2}$，
∵∠EFC=90°，
∴∠BFE=90°，
由勾股定理，得$BE=\sqrt{B{F^2}+E{F^2}}=2\sqrt{3}$，
∵EF∥AD，
∴$\frac{BE}{EA}=\frac{BF}{FD}=\frac{2}{1}$，
∴$AE=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角形函数，勾股定理，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．