Question

18．如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC=2DE，求sin∠CDB的值．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，CE∥AB，可证得四边形DBCE是平行四边形，又由△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD=AD=BD=CE，然后由CE∥AB，证得四边形ADCE平行四边形的性质，继而证得四边形ADCE是菱形；
（2）首先过点C作CF⊥AB于点F，由（1）可知，BC=DE，设BC=x，则AC=2x，然后由勾股定理求得AB，再由三角形的面积，求得CF的长，由勾股定理即可求得CD的长，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴CE=BD，
又∵CD是边AB上的中线，
∴BD=AD，
∴CE=DA，
又∵CE∥DA，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠BCA=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AD=CD，
∴四边形ADCE是菱形；

（2）解：过点C作CF⊥AB于点F，
由（1）可知，BC=DE，
设BC=x，则AC=2x，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$x．
∵$\frac{1}{2}$AB•CF=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CF=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x．
∵CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∴sin∠CDB=$\frac{CF}{CD}$=$\frac{4}{5}$．

点评 此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．