【题目】如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且满足AE∶BF∶CG∶DH=1∶2∶3∶4. 问当AE长为多少时，四边形EFGH的面积最小?并求出这个最小值.
【答案】当AE长为2.5时，四边形EFGH的面积的最小值为37.5
【解析】
设AE=x，则BF=2x，CG=3x，DH=4x，BE=10－x，CF=10－2 x，DG=10－3 x，AH=10－4 x，根据S四边形EFGH=S正方形ABCD－S△AEH－S△BEF－S△CFG－S△DGH列式后根据二次函数的性质进行求解即可得.
设AE=x，则BF=2x，CG=3x，DH=4x，BE=10－x，CF=10－2 x，DG=10－3 x，AH=10－4 x，
∴S四边形EFGH=S正方形ABCD－S△AEH－S△BEF－S△CFG－S△DGH
=102－
x(10－4x)－ ·2x(10－x)－ ·3x(10－2x)－ ·4x(10－3x)
=10x2－50x+100，
∵
=2.5，
=37.5，
∴当AE长为2.5时，四边形EFGH的面积的最小值为37.5.
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【题目】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连结BE交AC于F，连结FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD②△FED与△DEB③△CFD与△ABG④△ADF与△CFB中相似的为（ ）
A. ①④B. ①②C. ②③④D. ①②③
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【题目】如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A = 50°,∠D =10°，则∠P的度数为( )
A.15°B.20°C.25°D.30°
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【题目】如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A. 当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形
B. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形
D. 当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
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【题目】（问题情境）
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
（初步运用）
如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长．
（灵活运用）
如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论．
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【题目】2019年5月以来昆明高温天气创历史新高，市民戏称昆明“春城”变“夏城”，百姓对电风扇的需求量比往年明显增加．某超市销售每台进价分别为
元、
元的
两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 | 销售数量 | 销售收入 | |
|
| ||
第一周 |
|
|
|
第二周 |
|
|
|
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
（1）求两种型号的电风扇每台售价各是多少元？
（2）若超市准备用不多于
元的金额再采购这两种型号的电风扇共
台，求
种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润超过
元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
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