【题目】如图,长方形AOCB的顶点A(m,n)和C(p,q)在坐标轴上,已知和都是方程x+2y=4的整数解,点B在第一象限内.
(1)求点B的坐标;
(2)若点P从点A出发沿y轴负半轴方向以1个单位每秒的速度运动,同时点Q从点C出发,沿x轴负半轴方向以2个单位每秒的速度运动,问运动到多少秒时,四边形BPOQ面积为长方形ABCO面积的一半;
(3)如图2,将线段AC沿x轴正方向平移得到线段BD,点E(a,b)为线段BD上任意一点,试问a+2b的值是否变化?若变化,求其范围;若不变化,求其值.(直接写出结论)
【答案】(1)点B的坐标为(4,2);(2)运动到1秒时,四边形BPOQ面积为长方形ABCO面积的一半;(3)a+2b的值不变化,值为8.
【解析】
(1)根据坐标轴的性质把A,C代入方程x+2y=4,得到非负整数解,再根据矩形的性质即可解答.
(2)设AP=t,CQ=2t,再根据四边形BPOQ的面积=矩形AOCB的面积﹣△ABP的面积﹣△BCQ的面积求出t即可解答.
(3)作EF⊥CD于F,由平移的性证明四边形ABDC是平行四边形,再根据平行四边形的性质得出CD=AB=4,OD=OC+CD=8,再根据点E的坐标为(a,b),得出OF=a,EF=b,DF=8﹣a,最后利用相似三角形的判定与性质,即可解答.
(1)∵A(m,n),C(p,q),
∴m=0,n>0,p>0,q=0,
∵方程x+2y=4的非负整数解为,
∴A(0,2),C(4,0),
∵四边形AOCB是矩形,
∴BC=OA=2,AB=OC=4,
∴点B的坐标为(4,2);
(2)如图1所示:由题意得:AP=t,CQ=2t,
∴四边形BPOQ的面积=矩形AOCB的面积﹣△ABP的面积﹣△BCQ的面积=4×2﹣×4×t﹣×2t×2=×4×2,
解得:t=1,
即运动到1秒时,四边形BPOQ面积为长方形ABCO面积的一半;
(3)a+2b的值不变化,值为8,理由如下:
作EF⊥CD于F,如图2所示:
则EF∥OA∥BC,
由平移的性质得:AC∥BD,AC=BD,
∴四边形ABDC是平行四边形,
∴CD=AB=4,
∴OD=OC+CD=8,
∵点E的坐标为(a,b),
∴OF=a,EF=b,
∴DF=8﹣a,
∵EF∥BC,
∴△DEF∽△DBC,
∴,
整理得:a+2b=8.
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【题目】希望中学八年级学生开展踢毽子活动,每班派5名学生参加,按团体总分排列名次,在规定时间内每人踢100个以上(含100)为优秀.下表是成绩较好的甲班和乙班5名学生的比赛成绩(单位:个)
1号 | 2号 | 3号 | 4号 | 5号 | 总数 | |
甲班 | 100 | 98 | 110 | 89 | 103 | 500 |
乙班 | 89 | 100 | 95 | 119 | 97 | 500 |
经统计发现两班5名学生踢毽子的总个数相等.此时有学生建议,可以通过考查数据中的其它信息作为参考.请你回答下列问题:
(1)求两班比赛数据的中位数;
(2)计算两班比赛数据的方差,并比较哪一个小;
(3)根据以上信息,你认为应该把冠军奖状发给哪一个班?简述理由.
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【题目】某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃垂直于墙的一边长为x米.
(1)若苗圃的面积为72平方米,求x的值;
(2)这个苗圃的面积能否是120平方米?请说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣5,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,点E(x,y)为抛物线上一点,且﹣5<x<﹣2,过点E作EF∥x轴,交抛物线的对称轴于点F,作EH⊥x轴于点H,得到矩形EHDF,求矩形EHDF周长的最大值;
(3)如图2,点P为抛物线对称轴上一点,是否存在点P,使以点P,A,C为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为4,以AB为一边作等边△ABE,使点E落在正方形ABCD的内部,连接AC交BE于点F,连接CE、DE,则下列说法中:①△ADE≌△BCE;②∠ACE=30°;③AF=CF;④ =2+,其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】临近端午节,某食品店每天卖出300只粽子,卖出一只粽子的利润为1元.经调查发现,零售单价每降0.1元,每天可多卖出100只粽子.为了使每天获得的利润更多,该店决定把零售单价下降m(0<m<1)元,
(1)零售单价降价后,每只利润为 元,该店每天可售出 只粽子.
(2)在不考虑其他因素的条件下,当零售单价下降多少元时,才能使该店每天获取的利润是420元,且卖出的粽子更多?
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【题目】如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,∠AED=∠ABC,∠BAC的平分线AF交DE于点G,交BC于点F.
(1)试写出图中所有的相似三角形;
(2)若,求的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线的的顶点为.
(1)顶点的坐标为 .
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若轴且
①点的坐标为 ;
②过点作轴的垂线,若直线与抛物线交于两点,该抛物线在之间的部分与线段所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,结合函数图象,求的取值范围.
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【题目】如图,△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,且AB⊥BC,BE=CE,连接DE.
(1)求证:△BDE≌△BCE;
(2)试判断四边形ABED的形状,并说明理由.
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