【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣5,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,点E(x,y)为抛物线上一点,且﹣5<x<﹣2,过点E作EF∥x轴,交抛物线的对称轴于点F,作EH⊥x轴于点H,得到矩形EHDF,求矩形EHDF周长的最大值;
(3)如图2,点P为抛物线对称轴上一点,是否存在点P,使以点P,A,C为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣4x+5.(2);(3)P坐标为(﹣2,7)或(﹣2,﹣3)或(﹣2,6)或(﹣2,﹣1).
【解析】试题分析:(1)利用待定系数法即可解决问题;
(2)构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题;
(3)分三种情形分别求解①当由 列出方程即可解决.②当时,由 列出方程即可解决.③当 时,由列出方程即可;
试题解析:(1)把A(5,0),B(1,0)两点坐标代入
得到
解得
∴抛物线的函数表达式为
(2)如图1中,
∵抛物线的对称轴x=2,
∴
∴矩形EFDH的周长
∵2<0,
∴时,矩形EHDF的周长最大,最大值为
(3)如图2中,设P(2,m)
①当 ∵
∴
解得m=7,
∴P1(2,7).
②当时,∵
∴
解得m=3,
∴P2(2,3).
③当时,∵
∴
解得m=6或1,
∴P3(2,6),P4(2,1),
综上所述,满足条件的点P坐标为(2,7)或(2,3)或(2,6)或(2,1).
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【题目】(背景知识)
数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美结合.研究数轴我们发现有许多重要的规律:
例如,若数轴上点、点表示的数分别为、,则、两点之间的距离,线段的中点表示的数为.
(问题情境)
在数轴上,点表示的数为-20,点表示的数为10,动点从点出发沿数轴正方向运动,同时,动点也从点出发沿数轴负方向运动,已知运动到4秒钟时,、两点相遇,且动点、运动的速度之比是(速度单位:单位长度/秒).
备用图
(综合运用)
(1)点的运动速度为______单位长度/秒,点的运动速度为______单位长度/秒;
(2)当时,求运动时间;
(3)若点、在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动,但运动的方向不限,我们发现:随着动点、的运动,线段的中点也随着运动.问点能否与原点重合?若能,求出从、相遇起经过的运动时间,并直接写出点的运动方向和运动速度;若不能,请说明理由.
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【题目】某学校八年级学生举行朗诵比赛,全年级学生都参加,学校对表现优异的学生进行表彰,设置—、二、三等奖和进步奖共四个奖项,赛后将八年级(1)班的获奖情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图,请报据图中的信息,解答下列问题:
(1)八年级(1)班共有 名学生;
(2)将条形图补充完整;在扇形统计图中,“二等奖”对应的扇形的圆心角度数 ;
(3)如果该八年级共有800名学生,请估计荣获一、二、三等奖的学生共有多少名.
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【题目】如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB = 90o,AC =6,BC = 8,点F在线段AB上,以点B为圆心,BF为半径的圆交BC于点E,射线AE交圆B于点D(点D、E不重合).
(1)如果设BF = x,EF = y,求y与x之间的函数关系式,并写出它的定义域;
(2)如果,求ED的长;
(3)联结CD、BD,请判断四边形ABDC是否为直角梯形?说明理由.
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【题目】如图,大楼AB高16m,远处有一塔CD,某人在楼底B处测得塔顶C的仰角为38.5°,在楼顶A处测得塔顶的仰角为22°,求塔高CD的高及大楼与塔之间的距离BC的长.
(参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,si38.5°≈0.62,cos38.5°≈0.78,tan38.5°≈0.80).
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【题目】如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上.将线段AB绕点B顺时针旋转90°,得线段A′B,点A的对应点为A′,连接AA′交线段BC于点D.
(Ⅰ)作出旋转后的图形;
(Ⅱ) = .
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【题目】学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子,碟子的个数与碟子的高度的关系如下表:
碟子的个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
碟子的高度(单位:cm) | 2 | 2+1.5 | 2+3 | 2+4.5 | … |
(1)当桌子上放有x(个)碟子时,请写出此时碟子的高度(用含x的式子表示).
(2)分别从正面、左面、上面三个方向看这些碟子,看到的形状图如图所示,厨房师傅想把它们整齐叠成一摞,求叠成一摞后的高度.
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【题目】在平整的地面上,由若干个完全相同的棱长为 10 cm 的小正方体堆成一个几何体,如图 所示.
(1)这个几何体由多少个小正方体组成?请画出这个几何体的三视图.
(2)如果在这个几何体的表面(不包括底面)喷上黄色的漆,则在所有的小正方体中,有多少个只有一个面是黄色?有多少个只有两个面是黄色?有多少个只有三个面是黄色?
(3)假设现在你手里还有一些相同的小正方体,保持这个几何体的主视图、俯视图形状 不变,最多可以再添加几个小正方体?这时如果要重新给这个几何体表面(不包括底面) 喷上红色的漆,需要喷漆的面积比原几何体增加了还是减少了?增加或减少的面积是 多少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的直角顶点在x轴上,顶点B在y轴上,顶点C在函数(x>0)的图象上,且BC∥x轴.将△ABC沿y轴正方向平移,使点A的对应点落在此函数的图象上,则平移的距离为 .
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