【题目】已知△ABC是等腰直角三角形,AB=,把△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF.如果E是BC的中点,AC与DE交于P点,以直线BC为x轴,点E为原点建立直角坐标系.
(1)求△ABC与△DEF的顶点坐标;
(2)判断△PEC的形状;
(3)求△PEC的面积.
【答案】(1) A(0,1),B(-1,0),C(1,0),D(1,1),E(0,0),F(2,0);(2)△PEC是等腰直角三角形;(3)S△PEC=.
【解析】整体分析:
(1)根据勾股定理和平移的性质求出△ABC与△DEF的顶点到点E的距离或到点A的距离;(2)根据平移的性质得DE∥AB,即可判断△PEC的形状;(3)△PEC的面积等于两条直角边乘积的一半.
解:(1)连接AE,CD.
∵△ABC是等腰直角三角形,E是BC的中点,
∴AE⊥BC,∴AE2+CE2=2CE2=AC2,∴CE=AC.
∵△DEF是由△ABC平移得到的,
∴CE=AE=BE=CF=CD=AC=×=1,EF=2CE=2.
∴A(0,1),B(-1,0),C(1,0),D(1,1),E(0,0),F(2,0).
(2)根据平移的性质,可知DE∥AB,
∴∠PEC=∠B=45°,∠EPC=∠A=90°,
∴△PEC是等腰直角三角形.
(3)S△PEC=PC·PE=PC2=×CE2=.
所以S△PEC=.
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【题目】如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一点,将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B′处,则∠CDB′等于( )
A.40°
B.60°
C.70°
D.80°
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【题目】已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.
(1)当点P在线段AB上时,求证:△AQP∽△ABC;
(2)当△PQB为等腰三角形时,求AP的长.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC=( )
A.1:4
B.1:3
C.1:2
D.1:1
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【题目】如图,正方形ABCD,点F为正方形ABCD内一点,△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合.
(1)旋转中心是点 ,旋转角度为 度;
(2)判断△BEF的形状为 ;
(3)若∠BFC=90°,说明AE∥BF.
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【题目】如图1,四边形ABCD是菱形,AD=5,过点D作AB的垂线DH,垂足为H,交对角线AC于M,连接BM,且AH=3.
(1)求证:DM=BM;
(2)求MH的长;
(3)如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式;
(4)在(3)的条件下,当点P在边AB上运动时是否存在这样的 t值,使∠MPB与∠BCD互为余角,若存在,则求出t值,若不存,在请说明理由.
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