Question

9．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点，且CE=DF，BE、CF交于点M．
（1）探究线段BE与CF的数量关系和位置关系；
（2）若CE=DF=3，AN⊥BE于N，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出BC=CD，∠BCE=∠CDE，由SAS证明BCE≌△CDF，得出∠EBC=∠ECM，BE=CF；再由角的互余关系证出∠EMC=90°，即可得出BE⊥CF；
（2）由勾股定理求出BE，证明△BMC∽△BCE，得出对应边成比例求出BM、CM，再证明△ABN≌△CBM，得出BN=CM=$\frac{12}{5}$，即可求出MN的长．

解答 解：（1）BE=CF，BE⊥CF；理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠BCE=∠CDE=∠ABC=90°，
在△BCE与△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}&{\;}\\{∠BCE=∠CDF}&{\;}\\{CE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠EBC=∠ECM，BE=CF；
∵∠EBC+∠MEC=90°，
∴∠ECM+∠MEC=90°，
∴∠EMC=90°，BE⊥CF，
∴BE=CF，且BE⊥CF．
（2）根据勾股定理得：BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
∵∠BCE=90°，BE⊥CF，
∴△BMC∽△BCE，
∴$\frac{BM}{BC}=\frac{CM}{CE}=\frac{BC}{BE}$，
即$\frac{BM}{4}=\frac{CM}{3}=\frac{4}{5}$，
∴BM=$\frac{16}{5}$，CM=$\frac{12}{5}$，
∵AN⊥BE，
∴∠ANB=90°，
∴∠ABN+∠BAN=90°，
∵∠ABN+∠CBM=90°，
∴∠BAN=∠CBM，
在△ABN和△CBM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ANB=∠BMC=90°}&{\;}\\{∠ABN=∠CBM}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△CBM（AAS），
∴BN=CM=$\frac{12}{5}$，
∴MN=BM-BN=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．