【题目】在一元二次方程中,有著名的韦达定理:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果方程有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=﹣,x1x2=(说明:定理成立的条件△≥0).比如方程2x2﹣3x﹣1=0中,△=17,所以该方程有两个不等的实数解.记方程的两根为x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=﹣,请根据阅读材料解答下列各题:
(1)已知方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1、x2,且x1>x2,求下列各式的值:
①x12+x22;②;
(2)已知x1,x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.
①是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
②求使的值为整数的实数k的整数值.
【答案】(1) ①x12+x22=13, ②;(2) ①不存在,理由见解析;②k=﹣2或﹣3或﹣5
【解析】
(1)用韦达定理写出x1+x2与x1x2的值,把(x1+x2)2进行完全平方公式变形求得①,通分求值求得②;
(2)先求出△>0时,k的取值范围,用韦达定理写出用k表示x1+x2与x1x2的值.①直接把等式左边展开变形,代入x1+x2与x1x2的式子,即求出k.②化简式子得到k在分母的分式,根据式子的值为整数和k的取值范围确定k的值.
(1)∵x2﹣3x﹣2=0,b2-4ac=(﹣3)2﹣4×(﹣2)=17>0,
∴x1+x2=3,x1x2=﹣2,
①x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=32﹣2×(﹣2)=9+4=13,
②,
(2)∵方程有两个实数根,
∴b2-4ac=(﹣4k)2﹣44k(k+1)>0,
∴k<0,x1+x2=1,x1x2=,
①∵(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=2x12﹣5x1x2+2x22=2(x12+2x1x2+x22)﹣9x1x2=2(x1+x2)2﹣9x1x2,
∴,
解得:k=,与k<0矛盾,
∴不存在k的值,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立;
②,
∵的值为整数,
∴k+1=±1或±2或±4,
又∵k<0,
∴k=﹣2或﹣3或﹣5.
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【题目】如图,在同一平面内,,,点为反向延长线上一点(图中所有角均指小于的角).下列结论:①;②;③;④.其中正.确.结论的个数有( ).
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点N,连接BM,DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的长.
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【题目】如图,在△ABC中,点D.E分别在边AB,AC上,DE∥BC,按下列要求画图并填空
(1)过点E画直线BC的垂线交直线BC于点F;
(2)点D到直线______的距离等于线段EF的长度
(3)联结BE.CD,EBC的面积______DBC的面积.
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【题目】某班同学为了解2019年某小区家庭月均用水情况,随机调查了该小区部分家庭,并将调查数据进行整理如下:
月均用水量x(t) | 频数(户) | 频率 |
6 | 0.12 | |
0.24 | ||
16 | 0.32 | |
10 | 0.20 | |
4 | ||
2 | 0.04 |
请解答下列问题:
(1)把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整;
(2)求该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比;
(3)若该小区有1000户家庭,根据调查数据估计,该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户?
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【题目】某次世界魔方大赛吸引世界各地共900名魔方爱好者参加,本次大赛首轮进行3×3阶魔方赛,组委会随机将爱好者平均分到30个区域,每个区域30名同时进行比赛,完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐;如图是3×3阶魔方赛A区域30名爱好者完成时间统计图,
(1)填空:A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的有______人.
(2)填空:若A区域30名爱好者完成时间为9秒的人数是7秒人数的3倍,
①a=______,b=______;
②完成时间的平均数是______秒,中位数是______秒,众数是______秒.
(3)若3×3阶魔方赛各个区域的情况大体一致,则根据A区域的统计结果估计在3×3阶魔方赛后进入下一轮角逐的约有多少人?
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【题目】星期五晚上,小明和他的妈妈一起看《歌手》,歌手演唱完后要评选出名次,在已公布四到七名后,还有华晨宇、汪峰、张韶涵三位选手没有公布名次.
(1)求汪峰获第一名的概率;
(2)如果小明和妈妈一起竞猜第一名,那么两人中一个人猜中另一个人却没猜中的概率是多少?(请用“树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
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【题目】如图,用三种大小不同的五个正方形和一个缺角的长方形拼成长方形 ABCD,其中,NH=NG 1cm ,设 BF acm .
(1)用含 a 的代数式分别表示 CE,DE;
(2)求长方形 ABCD 的周长.(用含 a 的代数式表示)
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【题目】阅读计算:
阅读下列各式:,,……
回答下列三个问题:
(1)验证:(5×0.2)10=__________;510×0.210=__________.
(2)通过上述验证,归纳得出: =__________;=__________.
(3)请应用上述性质计算:
①
②.
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