Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA=8，OC=4．点P为对角线AC 上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q．

（1）tan∠ACB=________；

（2）在点P从点C运动到点A的过程中,的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；

（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为________

Answer 1

【答案】(1);(2) 的值不变，等于，理由见解析；（3）

【解析】

（1）根据tan∠ACB＝即可求解；

（2）过点P分别作PD⊥OA于点D、PE⊥AB于点E，然后证明△PDQ∽△PEB，再求出

（3）连接BQ、交CA于点H，由折叠可知BQ垂直平分AP，易证得△BAH∽△CAB， 又有AB=4、BC=8，进而可得AH、AC的长，据此解答即可.

（1）根据tan∠ACB＝

（2）解：在点P从点C运动到点A的过程中，的值不变，等于，

如图1，过点P分别作PD⊥OA于点D、PE⊥AB于点E，根据

∵∠PDA＝∠PEA＝∠BAO＝90°，

∴四边形PDAE是矩形，

∴PD＝AE，PE＝AD，∠EPF＝90°，

又∵PQ⊥PB，

∴∠BPQ＝90°，

∴∠DPQ＝∠EPB，

∴△PDQ∽△PEB，

∴.

又∵,

∴ 在点P从点C运动到点A的过程中，的值不变，等于.

（3）

连接BQ，BQ与AC交于H点，

在直角三角形ABC中，根据勾股定理求得AC＝

∵△QAB沿直线BQ折叠后，A与P重合，

∴BQ是四边形AQPB的对称轴，

∴BQ垂直平分AP.

∵BH⊥AC，

∴∠BHA＝∠ABC＝90°，

又∠BAC是公共角，

∴△BAH∽△CAB，

∴AB2＝AH·AC，

∴42＝ AH·

∴AH＝，

∴AP＝2AH＝，

∴PC＝AC－AP＝.