Question

【题目】在数学课上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图：

已知：直线l和l外一点P．

求作：直线l的垂线，使它经过点P．

做法：如图：（1）在直线l上任取两点A、B；

（2）分别以点A、B为圆心，、长为半径画弧，两弧相交于点Q；

（3）作直线．

参考以上材料作图的方法，解决以下问题：

（1）以上材料作图的依据是__________________．

（2）已知：直线l和l外一点P．

求作：，使它与直线l相切于点C（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

（3）完成下面的证明．

证明：∵_____________，且___________．

∴直线l是P的切线（_____________________）（填推理的依据）．

Answer 1

【答案】（1）垂直平分线上的点到线段两端距离相等；

（2）见解析；

（3）；为半径；过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【解析】

（1）由AP=AQ,BP=PQ可知，AB为PQ的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的判定定理的逆定理可判断PQ；

（2）按照材料的作图方法，先过点P作直线的垂线，交AB于C；再根据“过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可知，以PC为半径作圆，与直线l相切于点C.

（3）利用，PC为半径，再根据切线的判定定理可判断直线l是的切线.

（1） 垂直平分线上的点到线段两端距离相等；

（2）如图所示：

（3）∵，且为半径．

∴直线l是P的切线（过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）