Question

【题目】抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点，点．

（1）当时，求点的坐标；

（2）直线与抛物线交于两点，抛物线的对称轴为直线

①求，所满足的数量关系式；

②当OP=OA时，求线段的长度．

Answer 1

【答案】（1）（，0）；（2）①；②或．

【解析】

（1）利用待定系数法，将，点，代入函数解析式，求得，从而求得函数解析式及对称轴，然后根据数轴上的对称性求得点B的坐标；

（2）①由抛物线的对称轴求得，求得，然后将点，点代入函数解析式求得p与a的数量关系；

②由OP=OA时，分情况讨论当P（0，1）或（0，-1），求得p的值，从而确定二次函数和一次函数解析式，然后求其交点坐标，利用勾股定理求PN的长度．

解：（1）将点，点代入函数解析式，得

当时，可得，解得：

∴此时抛物线解析式为：，抛物线对称轴为

设B点坐标为（x，0） ，则此时，解得：

∴B点坐标为（，0）

（2）①将点，点代入函数解析式，得

有题意可知：，则

∴，解得

②当OP=OA时，P（0，1）或（0，-1）

当P（0，1）时，-p=1，即p=-1，则，解得

∴此时抛物线解析式为：

又∵直线与抛物线交于两点

∴一次函数解析式为：

由此，解得或

∴此时P（0,1）），N（5，-4）

∴PN=

当P（0，-1）时，-p=-1，即p=1，则，解得

∴此时抛物线解析式为：

又∵直线与抛物线交于两点

∴一次函数解析式为：

由此，解得或

∴此时P（0,-1）），N（-1，0）

∴PN=

∴综上所述，PN的长度为或．