【题目】如图,在等腰直角三角形和中,点为它们的直角顶点,当与有重叠部分时:
(1)①连接,如图1,求证: ;
②连接,如图2,求证: ;
(2)当与无重叠部分时:连接,如图3,当, 时,计算四边形面积的最大值,并说明理由.
【答案】(1) ①见解析;②见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)①利用同角的余角相等证出∠ACD=∠BCE,然后利用“SAS”证明△ACD≌△BCE即可得出结论;
②因为△ACE与△CDB的一条边AC=BC,所以要证两个三角形的面积相等只要证明AC和BC边上的高相等即可,过点E作EF⊥AC,过点D作DH⊥BC,通过证明△CEF≌△CDH即可得出结论;
(2)设△BCD的BC边上的高为h,同(1)②的方法可得S△ACE=S△BCD,所以S四边形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE+S△BCD=+5h,而h≤CD,故当h=CD=2时S四边形ABDE最大,代入h=2求出最大值即可.
试题解析:
解:(1)①∵∠ACD+∠BCD=90°,∠BCE+∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠BCE,
又∵AC=BC,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE;
②如图:作EF⊥AC交AC的延长线于点F,作DH⊥BC于点H,
∵∠FCE+∠ECH=90°,∠HCD+∠ECH=90°,
∴∠FCE=∠HCD,
∵∠EFC=∠DHC=90°,CE=CD,
∴△CEF≌△CDH(AAS),
∴EF=DH,
∵S△ACE=AC·EF,S△CDB=BC·DH,AC=BC,
∴S△ACE=S△CDB;
(2)设△BCD的BC边上的高为h,
同(1)②的方法可得S△ACE=S△BCD,
∴S四边形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE+S△BCD=×52+×22+2 S△BCD =+5h,
∵h≤CD,
∴当h=CD=2时S四边形ABDE最大,
∴四边形ABDE的面积最大值为+5×2=.
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【题目】某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象,已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°,且AB=4米,求该生命迹象所在位置C的深度.(结果精确到1米.参考数据:sin25°≈0.4,cos25°≈0.9,tan25°≈0.5,≈1.7)
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【题目】如图,已知顶点为(﹣3,﹣6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点A,点(﹣2,m)和(﹣5,n)在该抛物线上,则下列结论中不正确的是( )
A.>4ac
B.m>n
C.方程a+bx+c=﹣4的两根为﹣5或﹣1
D.a+bx+c≥﹣6
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【题目】小明是个爱探究的学生,在学习完等腰三角形的判定定理之后,对于等腰(如图甲),若,,小明发现,只要作的平分线就可以将分成两个等腰三角形.
(1)你认为小明的发现正确吗?若正确,请给出证明过程;若不正确,请说明理由;
(2)请你对图乙的三角形进行探索,将分成两个等腰三角形,并写出顶角度数;
(3)请你对图丙的三角形进行再探索,将分成三个等腰三角形,并写出顶角度数.
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【题目】老师在课堂上出了一个问题:若点A(﹣2,y1),B(1,y2)和C(4,y3)都在反比例函数y=的图象上,比较y1 , y2 , y3的大小.
小明是这样思考的:当k<0时,反比例函数的图象是y随x的增大而增大的,并且﹣2<1<4,所以y1<y2<y3 .
你认为小明的思考 (填“正确”和“不正确”),理由是 .
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【题目】如图,将-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7这10个数分别填写在五角星中每两条线的交点处(每个交点处只填写一个数),将每一条线上的4个数相加,共得5个数,设为a1,a2,a3,a4,a5.
(1)求(a1+a2+a3+a4+a5)的值;
(2)交换其中任何两位数的位置后,(a1+a2+a3+a4+a5)的值是否改变?并说明理由.
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【题目】北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后,滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目.如图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图,出于安全因素考虑,决定将斜坡的倾角由45°降为30°,已知原斜坡坡面AB长为200米,点D,B,C在同一水平地面上,求改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD.(结果保留整数.参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
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【题目】如图,A、B是直线m上两个定点,C是直线n上一个动点,且m∥n.以下说法:
①△ABC的周长不变;
②△ABC的面积不变;
③△ABC中,AB边上的中线长不变.
④∠C的度数不变;
⑤点C到直线m的距离不变.
其中正确的有________(填序号).
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【题目】计算:
(1)(x﹣1)(x+1)=x2﹣1,
(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1,
(x﹣1)(x3+x2+x+1)= ,
…
猜想:(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x2+x+1)= ,
(2)根据以上结果,试写出下面两式的结果
①(x﹣1)(x49+x48+…+x2+x+1)= ,
②(x20﹣1)÷(x﹣1)= ,
(3)利用以上结论求值:1+3+32+33+34+……+32017
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