在平面直角坐标系中.函数$y=-\frac{4}{3}x+b$的图象分别交x轴.y轴正半轴于点A.C.在第一象限内点M的坐标为.CM=$\frac{5}{3}$.过点C作射线CR∥x轴．(1)求直线AC的解析式,(2)点P自点C沿射线CR以每秒1个单位长度运动.同时点Q自点A沿线段AC以每秒1个单位的速度向点C运动.其中一个点停止运动时.另一个点也停止运动.点B.过点P作PF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

在平面直角坐标系中，函数$y=-\frac{4}{3}x+b$的图象分别交x轴、y轴正半轴于点A、C，在第一象限内点M的坐标为（1，$\frac{16}{3}$），CM=$\frac{5}{3}$，过点C作射线CR∥x轴．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点P自点C沿射线CR以每秒1个单位长度运动，同时点Q自点A沿线段AC以每秒1个单位的速度向点C运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，点B（-1，0），过点P作PF∥CB，分别交线段AC、x轴于点E、F，设线段EQ的长为S （s＞0）个单位长度，点Q 的运动时间为t（秒），求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在P、Q运动的过程中，是否存在t值，使得∠PFQ=45°？若存在，求t值；若不存在，请说明理由．

分析（1）由CM的长度，及直线AC解析式可以得出b值，进而求出直线AC的解析式；
（2）先求出AC长度，再分别表示出CE、AQ的长度，则EQ的长度自然可以表示出来；
（3）通过辅助线构造等腰直角三角形，利用相似三角形解决问题．

解答解：（1）∵点C在y轴上，设点C（0，b），
∵CM=$\frac{5}{3}$，M（1，$\frac{16}{3}$），
∴$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{16}{3}-b）^{2}}$=$\frac{5}{3}$
解得：b=4，或b=$\frac{20}{3}$，
∵点C在点M下方，
∴直线AC解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x+4．
（2）在RT△AOC中，∵AO=3，CO=5，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∵EF∥AB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{BA}$，
∴$\frac{AE}{5}=\frac{3-（t-1）}{4}$，
∴AE=5-$\frac{5}{4}$t，CE=$\frac{5}{4}$t，
当CE+AQ=5时，$\frac{5}{4}$t+t=5，
∴t=$\frac{20}{9}$
①0＜t≤$\frac{20}{9}$时，EQ=AC-CE-AQ=5-$\frac{5}{4}$t-t=5-$\frac{9}{4}$t，
②$\frac{20}{9}$＜t≤3时，EQ=EC+AQ-AC=$\frac{9}{4}$t-5，
③3＜t≤5时，由$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$得$\frac{AE}{5}=\frac{t-4}{4}$
∴AE=$\frac{5}{4}$t-5，
∴EQ=AE+AQ=t+$\frac{5}{4}$t-5=$\frac{9}{4}$t-5，
（3）存在；
情形①如图，取点M（4，3），连接CM，BM，作MG⊥CR垂足为G交OA于K，作QH⊥OA垂足为H，
∵CG=CO=4，∠CGM=∠COB=90°，MG=BO=1
∴△CGM≌△COB，
∴∠GCM=∠OCB，CB=CM，
∴∠BCM=∠OCG=90°，
∴△BCM的等腰直角三角形，
∴∠1=∠3=45°，
∵PF∥BC，
∴∠2=∠1=45°，∵∠4=45°，
∴∠2=∠4，
∴FQ∥BN，
∴∠QFH=∠MBK，∵∠QHF=∠MKB=90°，
∴△QHF∽△MKB，
∴$\frac{QH}{MK}=\frac{FH}{BK}$，∴$\frac{\frac{4}{5}t}{3}=\frac{3-（t-1）-\frac{3}{5}t}{5}$，
∴t=$\frac{15}{11}$．
情形②如图，由∠2=∠4=45°，可知∠MNF=90°，
由△QHF∽BKM得到$\frac{QH}{BK}=\frac{HF}{MK}$，
∴$\frac{\frac{4}{5}t}{5}=\frac{\frac{3}{5}t-（4-t）}{3}$，
∴t=$\frac{25}{7}$，
综上所述t=$\frac{15}{11}$或$\frac{25}{7}$．

点评此题考查了直角三角形的性质及全等三角形以及相似三角形的判定及性质，属于综合性较强的题目，对于此类动点型题目，首先要确定符合题意的条件下动点所在的位置，然后用时间t表示出有关线段的长度，进而建立关于线段的关系式，难度较大．

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