Question

7．如图，△ABC内接于⊙O，AB 是直径，过点A作直线MN，且∠MAC=∠ABC．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．
①求证：FD=FG．
②若BC=2，AB=3，试求AE的长．

Answer 1

分析 （1）即证∠MAC+∠CAB=90°．因为AB为直径，所以∠ACB=90°，∠ABC+∠CAB=90°．由∠MAC=∠ABC得证；
（2）①证明∠BDE=∠DGF即可．∠BDE=90°-∠ABD；∠DGF=∠CGB=90°-∠CBD．因为D是弧AC的中点，所以∠ABD=∠CBD．问题得证；②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．证明Rt△ADE≌Rt△CDH，得AE=CH．根据AB=BH求解．

解答 （1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°；
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，即MA⊥AB，
∴MN是⊙O的切线；

（2）①证明：∵D是弧AC的中点，
∴∠DBC=∠ABD，
∵AB是直径，
∴∠CBG+∠CGB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠ABD，
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD，
∴FD=FG；

②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．
∵∠DBC=∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，
∴DE=DH，
在Rt△BDE与△RtBDH中，$\left\{\begin{array}{l}{DH=DE}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△RtBDE≌△RtBDH，
∴BE=BH，
∵D是弧AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE与Rt△CDH中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DH}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH．
∴AE=CH．
∴BE=AB-AE=BC+CH=BH，即3-AE=2+AE，
∴AE=$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了切线的判定、等腰三角形的判定、三角形全等等知识点，综合性强；特别是最后一个问题正确的作出辅助线构造全等三角形求解是解题的关键．