Question

3．如图，一组抛物线的顶点A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…A_n（x_n，y_n）（n为正整数）依次是反比例函数y=$\frac{9}{x}$图象上的点，第一条抛物线以A₁（x₁，y₁）为顶点且过点O（0，0），B₁（2，0），等腰△A₁OB₁为第一个三角形；第二条抛物线以A₂（x₂，y₂）为顶点且经过点B₁（2，0），B₂（4，0），等腰△A₂B₁B₂为第二个三角形；…；第n条抛物线以A_n（x_n，y_n）为顶点且经过点B_n-1（2n-2，0），B_2n（2n，0），等腰△A_nB_n-1B_n为第n个三角形．
（1）求第一条抛物线的解析式；
（2）第几个三角形的面积为整数？
（3）若第n条抛物线为y=a_nx²+b_nx+c_n满足b_n+c_n=2a_n，求n的值；
（4）若第m个三角形和第n个三角形顶角互补，直接写出m、n（m＞n）的值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称性和反比例函数图象上点的坐标特征易求得到A₁（1，9），则设抛物线解析式为y=a（x-1）²+9，把O（0，0）代入该函数解析式即可求得a的值；
（2）根据抛物线与x轴的两个交点坐标可以求得每一个等腰三角形的底边长；由反比例函数图象上点的坐标特征，可以得到该底上的高线，然后利用三角形的面积公式得到第n个等腰三角形的面积公式，然后取整即可；
（3）设第n条抛物线的解析式为顶点式：y=a_n（x-2n+1）²+$\frac{9}{2n-1}$．把点（2n，0）代入函数解析式得到：a_n=-$\frac{9}{2n-1}$．利用换元思想将该解析式转化为y=-m（x-2n+1）²+m=-mx²+m（4n-2）x-m（2n-1）²+m．则结合已知条件可以推知4n-2-（2n-1）²+1=-2由此可以求得n的值；
（4）根据作第m个三角形和第n个三角形底边上的高A_mC和A_nD，构建相似三角形△A_mCB_m-1∽△A_nDB_n-1，利用相似三角形的对应边成比例来求m、n的值．注意m、n都是正整数．

解答 解：（1）∵第一条抛物线过点O（0，0），B₁（2，0），
∴该抛物线的对称轴是x=1．
又∵顶点A₁（x₁，y₁）在反比例函数y=$\frac{9}{x}$图象上，
∴y₁=9，
即第一条抛物线的顶点坐标是（1，9）．
故设该抛物线为y=a（x-1）²+9（a≠0），
把点O（0，0）代入，得到：0=a+9，
解得 a=-9．
所以第一条抛物线的解析式是y=-9（x-1）²+9；
（2）第一个等腰三角形的底边长为：2，高长为：$\frac{9}{\frac{2+0}{2}}$=$\frac{9}{1}$，面积为：$\frac{1}{2}$×2×$\frac{9}{1}$=$\frac{9}{2×1-1}$；
第二个等腰三角形的底边长为：2，高长为：$\frac{9}{\frac{4+2}{2}}$=$\frac{9}{3}$，面积为：$\frac{1}{2}$×2×$\frac{9}{3}$=$\frac{9}{2×2-1}$；
第三个等腰三角形的底边长为：2，高长为：$\frac{9}{\frac{6+4}{2}}$=$\frac{9}{5}$，面积为：$\frac{1}{2}$×2×$\frac{9}{5}$=$\frac{9}{2×3-1}$；
…
第n等腰三角形的底边长为：2，高长为：$\frac{9}{2n-1}$，面积为：$\frac{1}{2}$×2×$\frac{9}{2n-1}$=$\frac{9}{2×3-1}$；
即第n个三角形的面积是$\frac{9}{2n-1}$．
当n=1，2，5时为整数；
（3）设第n条抛物线的解析式为y=a_n（x-2n+1）²+$\frac{9}{2n-1}$．
又∵过点（2n，0），
∴a_n=-$\frac{9}{2n-1}$．
设$\frac{9}{2n-1}$=m，
∴y=-m（x-2n+1）²+m=-mx²+m（4n-2）x-m（2n-1）²+m．
∵第n条抛物线为y=a_nx²+b_nx+c_n满足b_n+c_n=2a_n，
∴m（4n-2）-m（2n-1）²+m=-2m，
4n-2-（2n-1）²+1=-2，n=2；

（4）作第m个三角形和第n个三角形底边上的高A_mC和A_nD，
∵顶角互补，
∴底角互余．
即△A_mCB_m-1∽△A_nDB_n-1，
∴$\frac{1}{\frac{9}{2n-1}}$=$\frac{\frac{9}{2m-1}}{1}$，即（2m-1）（2n-1）=81，
∵m、n都是正整数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=41}\\{n=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=14}\\{n=2}\end{array}\right.$．

点评 本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质．整个解题过程，利用抛物线的对称轴和反比例函数图象上的坐标特征来求相关点的坐标和相关线段的长度是解题的关键，此题综合性强，有一定的难度．