Question

【题目】如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．

（1）试判断四边形ABCD的形状，并给出证明；

（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．

（3）若EG=2，GF=3，BM=2，求AG、MN的长．

Answer 1

【答案】（1）四边形是正方形，见解析；（2），见解析；（3）6，

【解析】

（1）由图形翻折变换的性质可知∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD即可得出结论；

（2）连接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°，故∠NDH=90°，再证△AMN≌△AHN，得MN=NH，由勾股定理即可得出结论；

（3）设AG=x，则EC=x-2，CF=x-3，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可得出AG的值，同理可得出BD的长，设NH=y，在Rt△NHD，利用勾股定理即可得出MN的值．

（1）证明：∵△AEB由△AED翻折而成，

∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，

∵△AFD由△AFG翻折而成，

∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，

∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，

∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∵AB=AD，

∴四边形ABCD是正方形；

（2），

理由：连接，由旋转而成，，

，，

由（1），，

，

，

，

，

，

；

（3）设，则，，在中，

，

∴，

解得，，（舍去）

，

，，

，

，

，

设，在中，，即，

解得，即．