【题目】定义:点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外),在△PAB,△PBC,△PCA中,若至少有一个三角形与△ABC相似,则称点P是△ABC的自相似点.
例如:如图1,点P在△ABC的内部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,则△BCP∽△ABC,故点P为△ABC的自相似点.
请你运用所学知识,结合上述材料,解决下列问题:
在平面直角坐标系中,点M是曲线C:上的任意一点,点N是x轴正半轴上的任意一点.
(1) 如图2,点P是OM上一点,∠ONP=∠M, 试说明点P是△MON的自相似点; 当点M的坐标是,点N的坐标是
时,求点P 的坐标;
(2) 如图3,当点M的坐标是,点N的坐标是
时,求△MON的自相似点的坐标;
(3) 是否存在点M和点N,使△MON无自相似点,?若存在,请直接写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
或
;(3)存在,
【解析】
试题分析:(1)易证点P是三角形MON的自相似点,过点P作PD⊥x轴于D点根据M、N坐标易知∠MNO=90°,再利用三角函数可求出P点坐标;(2)根据坐标发现ON=MN=2,要找自相似点只能在∠ONM中做∠ONP=∠OMN或∠MNP=∠MON,分别画出图形,根据图形性质,结合相似可求出自相似点的坐标;(3)根据前两问可发现,要想有自相似点,其实质就是在大角里面做小角,当三个角都相等时,即△OMN为等边三角形时,不存在自相似点,因此可得到直线OM的解析式y=
x,与
的交点就是M,从而可以求得N的坐标.
试题解析:(1)在△ONP和△OMN中,
∵∠ONP=∠OMN,∠NOP=∠MON
∴△ONP∽△OMN
∴点P是△M0N的自相似点.
过点P作PD⊥x轴于D点.
∴.
∵,
∴, ∴
.
在Rt△OPN中,.
.
. ∴
.
(2)①如图2,过点M作MH⊥x轴于H点,
∵ ,
∴,直线OM的表达式为
.
∵是△M0N的自相似点,∴△
∽△NOM
过点作
⊥x轴于Q点,
∴
∵的横坐标为1,∴
∴
.
如图3,△∽△NOM ,
∴ ∴
.
∵的纵坐标为
,
∴ ∴
,
∴.
综上所述,或
.
(3)存在,.
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【题目】如图,已知二次函数的图像与
轴交于
两点,与
轴交于
,对称轴为直线
,顶点为
.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)经过、
两点的直线交抛物线的对称轴于点
,点
为直线
上方抛物线上的一动点,当点
在什么位置时,
的面积最大?并求此时点
的坐标及
的最大面积;
(3)如图,平移抛物线,使抛物线的顶点在射线
上移动,点
平移后的对应点为
,点
的对应点为点
,连接
、
,
是否能为等腰三角形?若能,请求出所有符合条件的点
的坐标;若不能,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C.
(1)试判断四边形ABCD的形状,并给出证明;
(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N,将△ABM绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,得到△ADH,试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系,并说明理由.
(3)若EG=2,GF=3,BM=2,求AG、MN的长.
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【题目】在平面直角坐标系中(如图),已知抛物线
经过点
,与
轴交于点
,,抛物线的顶点为点
,对称轴与
轴交于点
.
(1)求抛物线的表达式及点的坐标;
(2)点是
轴正半轴上的一点,如果
,求点
的坐标;
(3)在(2)的条件下,点是位于
轴左侧抛物线上的一点,如果
是以
为直角边的直角三角形,求点
的坐标.
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【题目】如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED为矩形;
(2)在BC上截取CF=CO,连接OF,若AC=16,BD=12,求四边形OFCD的面积.
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【题目】某校组织数学兴趣探究活动,爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现,两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图1、图2、图3中,、
是
的中线,
于点
,像
这样的三角形均称为“中垂三角形”.
(特例探究)
(1)如图1,当,
时,
_____,
______;
如图2,当,
时,
_____,
______;
(归纳证明)
(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想、
、
三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你的结论;
(拓展证明)
(3)如图4,在中,
,
,
、
、
分别是边
、
的中点,连结
并延长至
,使得
,连结
,当
于点
时,求
的长.
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【题目】如图,从点A看一山坡上的电线杆PQ,观测点P的仰角是45°,向前走6m到达B点,测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°,则该电线杆PQ的高度( )
A. 6+2 B. 6+
C. 10﹣
D. 8+
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【题目】如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3,BC=4,O是BC的中点,到点O的距离等于BC的所有点组成的图形记为G,图形G与AB交于点D.
(1)补全图形并求线段AD的长;
(2)点E是线段AC上的一点,当点E在什么位置时,直线ED与 图形G有且只有一个交点?请说明理由.
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