Question

2．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE-AE的值．

Answer 1

分析 （1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由角平分线的性质，可得OM=ON，然后由弦心距相等可得弦相等，即AB=CD；
（2）由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，先由垂径定理可得DN=CN=AM=BM，然后由HL可证Rt△EON≌Rt△EOM，进而可得NE=ME，从而得到AE=CE，然后将DE-AE转化为：DE-AE=DE-CE=DN+NE-CE=CN+NE-CE=2NE，然后在Rt△EON中，由∠NEO=30°，OE=2，求出NE即可．

解答 解：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，

∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM=ON，
∴AB=CD；
（2）如图2所示，

由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴DN=CN=AM=BM，
在Rt△EON与Rt△EOM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OE=OE}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD-DN-NE=AB-BM-ME，
即AE=CE，
∴DE-AE=DE-CE=DN+NE-CE=CN+NE-CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，
∴∠NEO=$\frac{1}{2}∠$BED=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OE=1，
在Rt△EON中，由勾股定理得：
NE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴DE-AE=2NE=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了及勾股定理和角平分线的性质，解题的关键是：作弦心距，由弦心距相等得到弦相等．