Question

【题目】如图1，在△ABC中，AC＝nAB，∠CAB＝α，点E，F分别在AB，AC上且EF∥BC，把△AEF绕点A顺时针旋转到如图2的位置．连接CF，BE．

（1）求证：∠ACF＝∠ABE；

（2）若点M，N分别是EF，BC的中点，当α＝90°时，求证：BE2+CF2＝4MN2；

（3）如图3，点M，N分别在EF，BC上且＝＝，若n＝，α＝135°，BE＝，直接写出MN的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）证明△CAF∽△BAE即可解决问题；

（2）延长BE交CF的延长线于H，连接BF，取BF的中点J，连接NJ，JM，设AC交BH于点O．首先证明CF⊥BE，利用三角形的中位线定理证明△NJM是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．

（3）如图3中，延长BE交CF的延长线于H，连接BF，在FB上取一点J，使得FJ：JB＝1：2，连接NJ，JM．证明∠MJN＝45°，NJ＝，MJ＝，如图4中，在△NJM中，作MK⊥NJ于K，解直角三角形求出MN即可．

（1）证明：

在如图1中，

∵EF∥BC，

∴，

∴，

如图2中，

∵∠CAB＝∠EAF，

∴∠CAF＝∠BAE，

∵，

∴△CAF∽△BAE，

∴∠ACF＝∠ABE．

（2）证明：在图2中，延长BE交CF的延长线于H，连接BF，取BF的中点J，连接NJ，JM，设AC交BH于点O．

∵∠OCH＝∠OBA，∠COH＝∠BOA，

∴∠H＝∠OAB＝90°，

∴CF⊥BE，

∵CN＝BN，FJ＝JB，

∴JN∥CF，JN＝CF，

∵FM＝ME，FJ＝JB，

∴MJ∥BE，MJ＝BE，

∵CF⊥BE，

∴NJ⊥JM，

∴∠NJM＝90°，

∴JN2+JM2＝MN2，

∴（CF）2+（BE）2＝MN2，

∴BE2+CF2＝4MN2．

（3）解：在图3中，延长BE交CF的延长线于H，连接BF，在FB上取一点J，使得FJ：JB＝1：2，连接NJ，JM．

同法可证∠H＝∠CAB＝135°，

∵CN：BN＝FJ：JB＝1：2，

∴NJ∥CF，NJ＝CF，

∵FM：ME＝FJ：JB＝1：2，

∴MJ∥BE，MJ＝BE，

∴△MJN中∠MJN的外角为135°，

∴∠MJN＝45°，

由题意BE＝，CF＝2，

∴NJ＝，MJ＝，

如图4中，在△NJM中，作MK⊥NJ于K．

∵∠J＝∠JMK＝45°，MJ＝，

∴MK＝KJ＝，

∴NK＝NJ﹣KJ＝1，

∴MN＝=＝．