【题目】如图,已知平行四边形中,
,
,
.平行四边形
的顶点
在线段
上(点
在
的左边),顶点
分别在线段
和
上.
(1)求证:;
(2)如图1,将沿直线
折叠得到
,当
恰好经过点
时,求证:四边形
是菱形;
(3)如图2,若四边形是矩形,且
,求
的长.(结果中的分母可保留根式)
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)
【解析】
(1)根据平行四边形的性质可得,从而得出
,再根据平行四边形的性质可得:
,
,从而得出
,即可得
,理由AAS即可证出
,从而得出
;
(2)根据折叠的性质可得,根据(1)中的结论可得:
,再根据等角对等边可得
,从而得出
,理由SAS即可证出
,从而得出
,根据菱形的定义可得四边形
是菱形;
(3)过点作
于点
,连接
交
于
.设
,根据矩形的性质和平行的性质可得
,
,然后用
分别表示出HQ、HN和BH,利用锐角三角函数即可求出x,从而求出
的长.
解:(1)如图,∵四边形是平行四边形,
∴.
∴.
∵四边形是平行四边形,
∴,
.
∴.
∴
在和
中
∴.
∴.
(2)如图,∵与
关于
对称,
∴.
由(1)得,
∴.
∴.
由(1)得,
∴.
∴.
由(1)得,
∴.
∵,
在和
中
∴.
∴.
∴是菱形.
(3)如图,过点作
于点
,连接
交
于
.设
,
∵四边形是矩形,
,
∴,
,
∴,
,
.
在中,由
,得
,
解得.
∴.
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【题目】观察下列各式及其验证过程:,验证:
,验证:
.
(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想的变形结果并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,直接写出用a(a≥2的整数)表示的等式.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,将一块含有45°角的直角三角板如图放置,直角顶点C的坐标为(1,0),顶点A的坐标为(0,2),顶点B恰好落在第一象限的双曲线上,现将直角三角板沿x轴正方向平移,当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动,则此时点C的对应点C′的坐标为( )
A.(,0)B.(2,0)C.(
,0)D.(3,0)
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【题目】如图,在坐标系中,抛物线
经过点
和
,与
轴交于点
.直线
.
抛物线的解析式为 .直线
的解析式为 ;
若直线
与抛物线只有一个公共点,求直线
的解析式;
设抛物线的顶点关于
轴的对称点为
,点
是抛物线对称轴上一动点,如果直线
与抛物线在
轴上方的部分形成了封闭图形(记为图形
).请结合函数的图象,直接写出点
的纵坐标
的取值范围.
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【题目】学校打算用长米的篱笆围城一个长方形的生物园饲养小兔,生物园的一面靠在长为
米的墙上(如图).
(1)若生物园的面积为平方米,求生物园的长和宽;
(2)能否围城面积为平方米的生物园?若能,求出长和宽;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,扇形OAB中,∠AOB=90°,将扇形OAB绕点B逆时针旋转,得到扇形BDC,若点O刚好落在弧AB上的点D处,则的值为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】在△ABC中,∠ABC=120°,线段AC绕点C顺时针旋转60°得到线段CD,连接BD.
(1)如图1,若AB=BC,求证:BD平分∠ABC;
(2)如图2,若AB=2BC,
①求的值;
②连接AD,当S△ABC=时,直接写出四边形ABCD的面积为 .
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=9,AC=12,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,点G为四边形DEAF对角线交点,则线段GF的最小值为_______.
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【题目】如图1,在△ABC中,AC=nAB,∠CAB=α,点E,F分别在AB,AC上且EF∥BC,把△AEF绕点A顺时针旋转到如图2的位置.连接CF,BE.
(1)求证:∠ACF=∠ABE;
(2)若点M,N分别是EF,BC的中点,当α=90°时,求证:BE2+CF2=4MN2;
(3)如图3,点M,N分别在EF,BC上且=
=
,若n=
,α=135°,BE=
,直接写出MN的长.
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