Question

【题目】如图 1，折叠矩形纸片 ABCD，具体操作：①点 E 为 AD 边上一点（不与点 A，D 重合），把△ABE 沿 BE 所在的直线折叠，A 点的对称点为 F 点；②过点 E 对折∠DEF，折痕EG 所在的直线交 DC 于点 G，D 点的对称点为 H 点．

（1）求证：△ABE∽△DEG．

（2）若 AB＝6，BC＝10

①点 E 在移动的过程中，求 DG 的最大值；

②如图 2，若点 C 恰在直线 EF 上，连接 DH，求线段 DH 的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②

【解析】

（1）由折叠的性质和矩形的性质可得∠ABE＝∠DEG，而∠A＝∠D＝90°，进而可得结论；

（2）①设 AE＝x，然后根据相似三角形的性质可得DG与x的二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可；

②如图2，根据折叠的性质、平行线的性质和等量代换可得∠FEB＝∠EBC，从而得CE＝CB＝10，在Rt△BCF中，根据勾股定理可求出CF的长，进而可得EF的长，即为AE的长，然后根据相似三角形的性质可求出DG的长，进一步即可求出EG，由折叠可知 EG 垂直平分线段 DH，然后根据三角形的面积即可求出DM的长，从而可得DH．

解：（1）如图 1 中，由折叠可知∠AEB＝∠FEB，∠DEG＝∠HEG，

∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG＝180°，

∴∠AEB+∠DEG＝90°，

∵四边形 ABCD 是矩形，

∴∠A＝∠D＝∠AEB+∠ABE＝90°，

∴∠ABE＝∠DEG，

∴△ABE∽△DEG；

（2）①设 AE＝x，则DE=10－x，

∵△ABE∽△DEG，

∴，即，

∴，

∵，

∴x＝5 时，DG 有最大值，最大值为；

②如图 2 中，连接 DH，设DH与EG交于点M，

由折叠可知∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，AB＝BF＝6，∠BFE＝∠A＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠EBC，

∴∠FEB＝∠EBC，

∴CE＝CB＝10，

∴CF＝

∴AE＝EF＝10－8＝2，

∴，

∴，

由折叠可知 EG 垂直平分线段 DH，

∴DM=HM，

根据三角形的面积可得：，

∴．