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【题目】如图,已知二次函数的图象的顶点坐标为,直线与该二次函数的图象交于两点,其中点的坐标为,点轴上.轴上的一个动点,过点轴的垂线分别与直线和二次函数的图象交于两点.

1)求的值及这个二次函数的解析式;

2)若点的横坐标,求的面积;

3)当时,求线段的最大值;

4)若直线与二次函数图象的对称轴交点为,问是否存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)(2)(3) DE的最大值为(4)存在,点的坐标为()(0)

【解析】

(1)根据直线 经过点A(34)求得m=1,根据二次函数图象的顶点坐标为M(10),且经过点A(34)即可求解;
(2)先求得点的坐标,点D的坐标,根据三角形面积公式即可求解;

(3)由题意得,则根据二次函数的性质即可求解;

(4)分两种情况:D点在E点的上方、D点在E点的下方,分别求解即可.

(1)∵直线经过点


∵二次函数图象的顶点坐标为
∴设二次函数的解析式为:
∵抛物线经过

解得:
∴二次函数的解析式为:
(2)代入
∴点的坐标为
代入
∴点D的坐标为(23)



(3)由题意得

∴当(属于 范围)时,DE的最大值为
(4) 满足题意的点P是存在的,理由如下:

∵直线AB

时,

∴点N的坐标为(12)


∵要使四边形为平行四边形只要
∴分两种情况:
D点在E点的上方,则


解得:(舍去)
D点在E点的下方,则

解得:

综上所述,满足题意的点P是存在的,点P的坐标为()(0)

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-2

-1

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3

4

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6

3

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的值.

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