Question

【题目】如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙ O的切线．

（2）求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4．

【解析】

（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．

（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE=OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．

（1）如图，连接OD．

∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAB．

∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE．

∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半径,

∴DE是⊙O切线；

（2）过点O作OF⊥AC于点F，∴AF=CF=3，∴OF，

∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE=OF=4，∴AE=AF+EF=3+5=8

在Rt△ADE中，AD2=DE2+AE2=42+82=80，

∴AD=4．