Question

【题目】如图，点D、O在△ABC的边AC上，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，连结DE、OB，且DE∥OB．

（1）求证：BC是⊙O的切线．

（2）设OB与⊙O交于点F，连结EF，若AD＝OD，DE＝4，求弦EF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AB，根据平行线的性质得到∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，根据全等三角形的性质得到∠OCB＝∠OEB＝90°，于是得到BC是⊙O的切线；

（2）根据直角三角形的性质得到OD＝DE＝4，推出四边形DOFE是平行四边形，得到EF＝OD＝4．

（1）证明：连接OE，

∵以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，

∴OE⊥AB，

∵DE∥OB，

∴∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，

∵OE＝OD，

∴∠EDO＝∠DEO，

∴∠BOC＝∠BOE，

∵OB＝OB，OC＝OE，

∴△OCB≌△OEB（SAS），

∴∠OCB＝∠OEB＝90°，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠AEO＝90°，AD＝OD，

∴ED＝AO＝OD，

∴OD＝DE＝4，

∵DE∥OF，DE＝OD＝OF，

∴四边形DOFE是平行四边形，

∴EF＝OD＝4，

∴弦EF的长为4．