【题目】已知,A(0,8),B(4,0),直线y=﹣x沿x轴作平移运动,平移时交OA于D,交OB于C.
(1)当直线y=﹣x从点O出发以1单位长度/s的速度匀速沿x轴正方向平移,平移到达点B时结束运动,过点D作DE⊥y轴交AB于点E,连接CE,设运动时间为t(s).
①是否存在t值,使得△CDE是以CD为腰的等腰三角形?如果能,请直接写出相应的t值;如果不能,请说明理由.
②将△CDE沿DE翻折后得到△FDE,设△EDF与△ADE重叠部分的面积为y(单位长度的平方).求y关于t的函数关系式及相应的t的取值范围;
(2)若点M是AB的中点,将MC绕点M顺时针旋转90°得到MN,连接AN,请直接写出AN+MN的最小值.
【答案】(1)①t=2或t=﹣4+8;②y=;(2) AN+MN的最小值
【解析】
(1)求出AB直线解析式,设出移动后的直线y=﹣x+t,当CD=CE时,当CD=DE时分别求出t的值;
(2)0≤t≤2时,y=S△EFD=﹣t2+4t;当2<t≤4时,DF所在直线解析式为y=x+t,得到DF⊥AB,作GP⊥DE,FQ⊥DE,由,,;
(3)N的运动轨迹在x=﹣2的线段上,当t=0时AN+MN最小.N(﹣2,6),AN+MN最小值.
(1)设过A(0,8),B(4,0)两点的直线解析式为y=kx+b,
∴y=﹣2x+8,
①直线y=﹣x从点0出发以1单位长度/s的速度匀速沿x轴正方向平移,
此时函数解析式为y=﹣x+t,
∴D(0,t),E(t,8﹣2t),C(t,0),
当CD=CE时,
∴2t2=(8﹣3t)2+t2,
∴t=2或t=4,
当CD=DE时,
DE=|8﹣2t|,CD=t,
∴|8﹣2t|=t,
∴t=﹣4+8,或t=8+4,
∵0≤t≤3,
∴t=2或t=﹣4+8;
②∵△CDE沿DE翻折后得到△FDE,
∴F(t,2t),
当F在直线AB上时,t=2,
∴0≤t≤2时,
y=S△EFD=×(8﹣2t)t=﹣t2+4t,
当2<t≤4时,
DF所在直线解析式为y=x+t,
∴DF⊥AB,
作GP⊥DE,FQ⊥DE,
∴FQ=t,DQ=t,GP=2PE,DE=8﹣2t,
∴,
∴,
;
(3)如图3:过点M作ME⊥x轴,交x轴于E点;过点M作y轴垂线,过N做x轴垂线,相交于点F;过点M做AB直线的垂线,
∵∠NMC=∠NMG+∠CMG=90°,
∠GMB=∠GMC+∠CMB=90°,
∴∠NMG=∠CMB,
∵FH∥x轴,
∴∠CBA=∠HMB,
∵∠FMG=∠KMH,∠KMH+∠HMB=90°,∠BME+∠MBE=90°,
∴∠BME=∠KMH=∠FMG,
∴∠CME=∠NMF,
在Rt△NMF和Rt△CME中,MN=MC,∠CME=∠NMF,
∴Rt△NMF≌Rt△CME(AAS),
∴MF=ME,
∵点M是AB的中点,
∴M(2,4),
∴ME=MF=4,
∴N在NF所在直线上运动,
∴N点横坐标是﹣2,
如图4:作A点关于直线x=﹣2的对称点A',连接A'M与x=﹣2交点为N,
此时AN+NM的值最小;
A'(﹣4,8),
∴A'M=;
∴AN+MN的最小值 ;
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【题目】如图,已知⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙ O的切线.
(2)求AD的长.
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【题目】新冠疫情期间,某校开展线上教学,有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种.为分析该校学生线上学习情况,在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度,数据整理结果如表(数据分组包含左端值不包含右端值).
参与度 人数 方式 | 0.2~0.4 | 0.4~0.6 | 0.6~0.8 | 0.8~1 |
录播 | 4 | 16 | 12 | 8 |
直播 | 2 | 10 | 16 | 12 |
(1)你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由.
(2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生,估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少?
(3)该校共有800名学生,选择“录播”和“直播”的人数之比为1:3,估计参与度在0.4以下的共有多少人?
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【题目】如图,从左向右依次摆放序号分别为1,2,3,…,n的小桶,其中任意相邻的四个小桶所放置的小球个数之和相等.
尝试 求x+y的值;
应用 若n=22,则这些小桶内所放置的小球个数之和是多少?
发现 用含k(k为正整数)的代数式表示装有“4个球”的小桶序号.
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【题目】如图,在ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连接CF.
(1)求证:AEF≌△DEB;
(2)若∠BAC=90°,求证:四边形ADCF是菱形.
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【题目】某公司用6000元购进A,B两种电话机25台,购买A种电话机与购买B种电话机的费用相等.已知A种电话机的单价是B种电话机单价的1.5倍.
(1)求A,B两种电话机的单价各是多少?
(2)若计划用不超过8000元的资金再次购进A,B两种话机共30台,已知A,B两种电话机的进价不变,求最多能购进多少台A种电话机?
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【题目】在矩形ABCD中,将点A翻折到对角线BD上的点M处,折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处,折痕DF交BC于点F.
(1)求证:四边形BFDE为平行四边形;
(2)若四边形BFDE为菱形,且AB=2,求BC的长.
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【题目】2017年,随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目,成功完成了高难度的项目挑战,展现了惊人的记忆力.在2019年的《最强大脑》节目中,也有很多具有挑战性的比赛项目,其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力.如图是一个最简单的二阶幻圆的模型,要求:①内、外两个圆周上的四个数字之和相等;②外圆两直径上的四个数字之和相等,则图中两空白圆圈内应填写的数字之和为_____.
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【题目】在中,,,在图中按下列步骤进行尺规作图:
① | 以为圆心,长为半径画弧交于点; |
② | 分别以为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧相交于点; |
③ | 画射线交于点,交的延长线于点,连接. |
下列说法错误的是( )
A.B.
C.D.若,则
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