【题目】如图,在△ABC 中,AB=AC.D 是 BC 上一点,且 AD=BD.将△ABD 绕点 A 逆时针旋转得到△ACE.
(1)求证:AE∥BC;
(2)连结 DE,判断四边形 ABDE 的形状,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)四边形 ABDE 是平行四边形, 理由见解析.
【解析】
(1)根据等腰三角形性质得∠B=∠BAD, ∠B=∠DCA,由旋转的性质得∠BAD=∠CAE,利用内错角相等即可证明AE∥BC,
(2)由旋转得BD=AD=AE,根据一组对边平行且相等即可证明.
(1)证明:由旋转性质得∠BAD=∠CAE,
∵AD=BD,
∴∠B=∠BAD,
∵AB=AC,
∴∠B=∠DCA,
∴∠CAE=∠DCA,
∴AE∥BC.
(2)解:四边形 ABDE 是平行四边形,理由如下:
连接DE,见下图.
由旋转性质得 AD=AE,
∵AD=BD,
∴AE=BD,
又∵AE∥BC,
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
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【题目】甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏.他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的19张卡片,其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为3、4、5、7,两人各随机摸出一张卡片(先摸者不放回)来比胜负,并约定:“锤子”胜“石头”和“剪子”,“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”,“布”胜“锤子”和“石头”,同种卡片不分胜负.
(1)若甲先摸,他摸出“石头”的概率是多少?
(2)若甲先摸出了“石头”,则乙获胜的概率是多少?
(3)若甲先摸,则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大?
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【题目】两棵树(大树和小树)在一盏路灯下的影子如图所示
(1)确定路灯灯泡的位置(用点P表示)和表示婷婷的影长的线段(用线段AB表示).
(2)若小树高为2m,影长为4m;婷婷高1.5m,影长为4.5米,且婷婷距离小树10米,试求出路灯灯泡的高度.
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【题目】把一张边长为40 cm的正方形硬纸板,进行适当的裁剪,折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)如图,若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.
①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少?
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有,说明理由.
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2,求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况).
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【题目】如图,⊙O的直径为AB,点C在圆周上(异于A,B),AD⊥CD.
(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;
(2)若AC是∠DAB的平分线,求证:直线CD是⊙O的切线.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为(4,6)、(5,4),且AB平行于x轴,将矩形ABCD向左平移,得到矩形A′B′C′D′.若点A′、C′同时落在函数的图象上,则k的值为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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【题目】如图,△ABC是⊙O的一个内接三角形,∠B=60°,AC=6,图中阴影部分面积记为S,则S的最小值( )
A. 8π﹣9 B. 8π﹣6 C. 8π﹣3 D. 8π﹣2
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【题目】已知二次函数y1=ax2+bx+1(a>0),一次函数y2=x.
(Ⅰ)若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点,求a与b之间的关系;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,y1的图象与y2图象的交点为P,且点P的横坐标是2,若将y2向上平移t个单位,与y1交于两点Q,R,△PQR面积为2,求t;
(Ⅲ)二次函数y1图象与一次函数y2图象有两个交点(x1,y1)(x2,y2),且满足x1<2<x2<4,此时设函数y1的对称轴为x=m,求m的范围.
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