Question

【题目】已知二次函数y1＝ax2+bx+1（a＞0），一次函数y2＝x．

（Ⅰ）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点，求a与b之间的关系；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，y1的图象与y2图象的交点为P，且点P的横坐标是2，若将y2向上平移t个单位，与y1交于两点Q，R，△PQR面积为2，求t；

（Ⅲ）二次函数y1图象与一次函数y2图象有两个交点（x1，y1）（x2，y2），且满足x1＜2＜x2＜4，此时设函数y1的对称轴为x＝m，求m的范围．

Answer 1

【答案】（1）b2﹣2b+1＝4a；（2）t＝1；（3）﹣1＜m＜2．

【解析】

根据二次函数、一次函数、正比例函数的性质，求出交点坐标即可．

解：（1）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点，

即：ax2+bx+1＝x，△＝（b﹣1）2﹣4a＝0，

解得：b2﹣2b+1＝4a，…①

答：a与b之间的关系是b2﹣2b+1＝4a；

（2）图象如上图所示，若将y2向上平移t个单位后所在直线为PR所在直线为y＝x+t ，

将P点坐标（2，2）代入二次函数方程得：4a+2b+1＝2…②

联立方程①②解得：b＝0，a＝，

点Q、R的坐标由方程③和二次函数联立得：

x2﹣x+1﹣t＝0，则：|xQ﹣xP|＝4，

S△PQR＝ |xQ﹣xP|PH＝2，解得：t＝1，

答：t＝1；

（3），即：ax2+（b﹣1）x+1＝0，

方程有两个根x1＜2＜x2＜4，根据函数得：

解得：﹣1＜﹣＜2，

答：m的范围为﹣1＜m＜2．