Question

如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ADC=60°，等边三角形△AEF两边分别交边DC，CB于点E，F．
（1）求证：△ADE≌△ACF；
（2）如图2所示，若点E，F始终分别在边DC，CB上移动，记等边△AEF面积为S，则S是否存在最小值？若存在，值为多少；若不存在，请说明理由；
（3）若S存在最小值，对角线AC上是否存在点P，使△PDE的周长最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）根据菱形的性质判断△ADC为等边三角形，则AD=AC，再根据边三角形的性质得∠EAF=60°，AE=AF，易得∠DAE=∠CAF，然后根据“SAS”可证明△ADE≌△ACF；
（2）设DE=x，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DH=

1

2

x，EH=

3

2

x，则AH=AD-DH=2-

1

2

x，再在Rt△AEH中根据勾股定理计算出AE²=x²-2x+4，然后根据等边三角形的面积公式得到S=

3

4

（x²-2x+4），再利用配方得到S=

3

4

（x-1）²+

3 3

4

，然后根据非负数的性质即可得到当x=1时，S有最小值

3 3

4

；
（3）如图③，作EQ⊥BC于Q，连接BE交AC于P，连接PD，由菱形的性质得AC垂直平分BD，则PD=PB，所以PE+PD=PE+PB=BE，根据两点之间线段最短得到此时△PDE的周长最小，在Rt△CQE中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CQ=

1

2

，QE=

3

2

，然后在Rt△BEQ中，根据勾股定理可计算出BE=

7

，于是得到此时△PDE的周长为1+

7

，即△PDE的周长最小值为1+

7

．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴DC=DA，
∵∠ADC=60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴AD=AC，
∵△AEF为等边三角形，
∴∠EAF=60°，AE=AF，
∵∠DAE+∠EAC=60°，∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠DAE=∠CAF，
在△ADE和△ACF中，

AD=AC ∠DAE=∠CAF AE=AF

，
∴△ADE≌△ACF（ASA）；
（2）解：存在．
设DE=x，
在Rt△DEH中，∵∠D=60°，
∴∠DHE=30°，
∴DH=

1

2

x，EH=

3

2

x，
∴AH=AD-DH=2-

1

2

x，
在Rt△AEH中，AE²=AH²+EH²=（2-

1

2

x）²+（

3

2

x）²=x²-2x+4，
∴S=

3

4

AE²=

3

4

（x²-2x+4）=

3

4

（x-1）²+

3 3

4

，
∴当x=1时，S有最小值，最小值为

3 3

4

；
（3）如图，作EQ⊥BC于Q，连接BE交AC于P，连接PD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC垂直平分BD，
∴PD=PB，
∴PE+PD=PE+PB=BE，
∴此时△PDE的周长最小，
∵DE=1，
∴EC=1，
∵∠BCE=120°，
∴∠QCE=60°，
在Rt△CQE中，CQ=

1

2

CE=

1

2

，QE=

3

CQ=

3

2

，
∴BQ=BC+CQ=2+

1

2

=

5

2

，
在Rt△BEQ中，BE=

QE2+BQ2

=

7

，
∴此时△PDE的周长=DE+PE+PD=DE+BE=1+

7

．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定与性质和非负数的性质；会运用配方法解决代数式的最值问题；利用对称解决最小距离之和的问题；会应用含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理进行几何计算．