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    操作与探究
    （1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以
    1
    4
    ，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．
    如图1，点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．
    若点A表示的数是-3，点A′表示的数是
     
    ；若点B′表示的数是2，点B表示的数是
     
    ；
    已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是
     
    ．
    （2）对平面直角坐标系中的每个点P进行如下操作：先把点P的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移b个单位，再向上平移4b个单位，得到点P的对应点P′．
    如图2，正方形ABCD在平面直角坐标系中，对正方形ABCD及其内部的点进行上述操作后得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′．
    若已知A（-3，0）、A′（-1，2）、C（5，4），求点C′的坐标；
    如果正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．
    考点：几何变换综合题
    专题：
    分析：（1）先把点P表示的数乘以
    1
    4
    ，再把所得数对应的点向右平移1个单位，根据变换的关系即可得到点P的对应点P′，即可求得点A′与点B表示的数；然后设设E表示的数为x，根据题意得：
    1
    4
    x+1=x，即可求得答案；
    （2）先把点P的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移b个单位，再向上平移4b个单位，得到点P的对应点P′，与A（-3，0）、A′（-1，2），即可得方程组：
    -3a+b=-1
    0×a+4b=2
    ，从而得到变换关系，继而求得答案．
    解答：解：（1）∵A、B的对应点分别为A′、B′，点A表示的数是-3，点B′表示的数是2，
    ∴-3×
    1
    4
    +1=
    1
    4
    ，（2-1）÷
    1
    4
    =4，
    ∴A′表示的数为
    1
    4
    ；B表示的数为4；
    ∵E的对应点E′与点E重合，
    设E表示的数为x，
    根据题意得：
    1
    4
    x+1=x，
    解得：x=
    4
    3
    ，
    ∴E′表示的数为
    4
    3
    ．
    故答案为：
    1
    4
    ，4，
    4
    3
    ；

    （2）∵A（-3，0）的对应点为A′（-1，2），
    根据题意得：
    -3a+b=-1
    0×a+4b=2
    ，
    解得：
    a=
    1
    2
    b=
    1
    2
    ，
    ∵C（5，4），
    ∴
    1
    2
    ×5+
    1
    2
    =3，
    1
    2
    ×4+4×
    1
    2
    =4，
    ∴点C′（3，4）；
    设F（m，n），
    ∵点F的对应点F′与点F重合，
    ∴
    1
    2
    m+
    1
    2
    =m
    1
    2
    n+2=n
    ，
    解得：
    m=1
    n=4
    ，
    ∴F（1，4）．
    点评：此题考查了几何变换的知识．此题难度适中，注意根据题意得到变换关系是解此题的关键．
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    ．

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    （2）如图2所示，若点E，F始终分别在边DC，CB上移动，记等边△AEF面积为S，则S是否存在最小值？若存在，值为多少；若不存在，请说明理由；
    （3）若S存在最小值，对角线AC上是否存在点P，使△PDE的周长最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

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    （2）写出图中所有的互余角和互补角，并选择一对互余角加以说明．

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    如图，直线y=kx+6分别与x轴、y轴相交于点E和点F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（0，4）．
    （1）求k的值；
    （2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    （3）探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为12，并说明理由．

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    如图所示，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题：
    （1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标
     
    ；
    （2）将△A1B1C1绕点（0，-1）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
    （3）观察图形发现，△A2B2C2是由△ABC绕点
     
    顺时针旋转
     
    度得到的．

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    在直角坐标系中直接画出函数y=|x|的图象．若一次函数y=kx+b的图象分别过点A（-1，1）、B（2，2），请你依据这两个函数的图象写出方程组
    y=|x|
    y=kx+b
    的解
     
    ．

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