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【题目】如图,AB是半圆O的直径,点P是BA延长线上一点,PC是⊙O的切线,切点为C,过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D,连接BC.求证:

(1)∠PBC=∠CBD;

(2)=ABBD.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析

【解析】

试题分析:(1)连接OC,由PC为圆O的切线,利用切线的性质得到OC垂直于PC,再由BD垂直于PD,得到一对直角相等,利用同位角相等两直线平行得到OC与BD平行,进而得到一对内错角相等,再由OB=OC,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换即可得证;

(2)连接AC,由AB为圆O的直径,利用圆周角定理得到∠ACB为直角,利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形CBD相似,利用相似三角形对应边成比例,变形即可得证.

试题解析:(1)连接OC,∵PC与圆O相切,∴OC⊥PC,即∠OCP=90°,∵BD⊥PD,∴∠BDP=90°,∴∠OCP=∠PDB,∴OC∥BD,∴∠BCO=∠CBD,∵OB=OC,∴∠PBC=∠BCO,∴∠PBC=∠CBD;

(2)连接AC,∵AB为圆O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠CDB=90°,∵∠ABC=∠CBD,∴△ABC∽△CBD,∴,则=ABBD.

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1600

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2400

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1800

2050

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