Question

17．如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B．
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
（2）求证：$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$．

Answer 1

分析 （1）首先连接OC，OD，由CE=DF，利用SAS，即可证得△OCE≌△ODF，继而判定△OEF是等腰三角形；
（2）由△OCE≌△ODF，可证得∠COE=∠DOF，然后由圆心角与弧的关系，证得结论．

解答 （1）解：△OEF是等腰三角形，
理由：连接OC，OD，
∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
在△OCE和△ODF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{∠C=∠D}\\{CE=DF}\end{array}\right.$，
∴△OCE≌△ODF（SAS），
∴OE=OF，
即△OEF是等腰三角形；

（2）证明：∵△OCE≌△ODF，
∴∠COE=∠DOF，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$．

点评 此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．